Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der n Fluggäste das vegetarische Gericht wählt, beträgt 99%

Question

kann mir vielleicht einer von euch bei der Aufgabe helfen?

Aufgabe:

Auf einem Flug mit Verpflegung steht auch ein vegetarisches Gericht zur Auswahl. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fluggast das vegetarische Gericht wählt, beträgt p. Die Wahl jedes Fluggastes wird unabhängig von jener der anderen Fluggästen getroffen.

Die Wkeit, dass mindestens einer der insgesamt n Fluggäste das vegetarische Gericht wählt, beträgt 99%.

P(mindestens einer wählt vegetarisch)^n =0,99. —> Gegenwkeit 1-P(keiner wählt vegetarisches)^n =0,99

Das wäre meine Lösung, aber die ist falsch.

Die richtige Lösung ist: 1-(1-p)^n=0,99
Aber ich verstehe nicht, wieso die 1-?(1-p)^n=0,99

Bin um jede Erklärung froh.

Vielen Dank schon einmal im Voraus!

Comments

Was ist denn überhaupt die Frage?

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Sehr gute Frage! :)

Anhand der Lösung vermute ich, dass es um das Aufstellen einer allgemeinen Gleichung geht.

Answer 1

Ich verwende einfach immer für solche Aufgaben die Formel$$n≥\frac{\lg(1-a)}{\lg(1-p)}$$ Wobei \(a\) für die Wahrscheinlichkeit steht, die errreicht werden soll und \(p\) die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer darstellt:$$n≥\frac{\lg(1-0.99)}{\lg(1-p)}$$

Answer 2

Die Verteilung dieser Zufallsvariable ist die Binomial-Verteilung. Diese Verteilung bestimmt die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Versuchen genau k mit Erfolg eintreffen (k = 0,1,...,n). Die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs bei einem Versuch ist die (immer gleiche) Wahrscheinlichkeit p. Man schreibt diese Verteilung als B ( n | p,k), (Formel siehe Wikipedia).

Angenommen ein Gast wählt ein vegarisches Gericht mit der Wahrscheinlichkeit p, und man fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass bei n Fluggästen mindestens einer das v.G. bestellt, dann könnte man folgende Wahrscheinlichkeiten addieren:

Wahrscheinlichkeit, dass 1 Gast von n Gästen v.G. bestellt = B (n |p, 1)

Wahrscheinlichkeit, dass 2 Gäste von n Gästen v.G. bestellt = B (n | p, 2)

...

Wahrscheinlichkeit, dass n Gäste von n Gästen v.G. bestellt = B (n | p,n)

Bei dieser Liste fehlt nur ein einziger Fall :

Wahrscheinlichkeit, dass 0 Gäste von n Gästen v.G. bestellt = B (n | p,0)

Weil alle Wahrscheinlichkeiten in der Summe 1 ergeben müssen, kann statt der obigen Summenbildung einfach

1 - B (n | p,0)

einsetzen, was leichter zu rechnen ist, und B(n | p,0) ist identisch mit (1-p)^n.