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Aufgabe

a) \( f(x)=x+1 ; \quad I=[0 ; 1] \quad \) mit: \( n=4 \)
b) \( f(x)=0,5 x^{2} ; \quad I=[0 ; 1] \) mit: \( n=8 \)
c) \( f(x)=2 x^{2}+1 ; \quad I=[0 ; 2] \) mit: \( n=8 \)

Ich verstehe einfach nicht wie ich anfangen soll. Man soll Mithilfe der Streifenmethode den Inhalt der Fläche zwischen dem Graph von f (x) und der x Achse näherungsweise durch Ober und untersumme bilden aber wie ? Kann mir das bitte jemand erklären

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Am besten machst du mal eine Skizze, wo du die Streifen einzeichnest. Dann kannst du es leichter nachvollziehen.

Die Frage  a) f(x) = x+1 hat gestern Sally schon fast richtig vorgerechnet.

Vlg. mein Kommentar https://www.mathelounge.de/375327/berechne-und-sowie-und-fur-die-funktion-uber-den-intervall-bsp#c564139

1 Antwort

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du kannst dir das an so einem Bild verdeutlichen:

Streifenmethode.png

Du hast n hier n=4) Teilflächen.

Die k-te Fläche (ein Rechteck) berechnet sich durch $$ A_k=b\cdot l= \frac{1}{4}\cdot f\Big(\frac{k}{4}\Big)$$

Die Breite b ist hier 1/4, da du das Intervall [0,1] in vier Teile geteilt hast.

Für die jeweilige Summe ist es nun wichtig, wo angefangen wird aufzusummieren. Bei der Obersumme geht es bei x=1/4 los und endet bei x=1, bei der Untersumme geht man um eine Einheit nach links, sodass man bei x=0 anfängt und bei x=3/4 endet.

OBERSUMME

$$ O_4=A_1+A_2+A_3+A_4\\=\frac{1}{4}\cdot f\Big(\frac{1}{4}\Big)+\frac{1}{4}\cdot f\Big(\frac{2}{4}\Big)+\frac{1}{4}\cdot f\Big(\frac{3}{4}\Big)+\frac{1}{4}\cdot f\Big(\frac{4}{4}\Big)\\=\frac{1}{4}\cdot\Bigg( f\Big(\frac{1}{4}\Big)+f\Big(\frac{2}{4}\Big)+ f\Big(\frac{3}{4}\Big)+f\Big(\frac{4}{4}\Big)\Bigg)\\=\frac{1}{4}\cdot\Bigg(\Big(\frac{1}{4}+1\Big)+\Big(\frac{2}{4}+1\Big)+\Big(\frac{3}{4}+1\Big)+\Big(\frac{4}{4}+1\Big)\Bigg)\\=\frac{1}{4^2}\cdot (5+6+7+8)=\frac{26}{16}=1,625 $$

UNTERSUMME

$$ U_4=A_0+A_1+A_2+A_3\\=\frac{1}{4}\cdot f\Big(\frac{0}{4}\Big)+\frac{1}{4}\cdot f\Big(\frac{1}{4}\Big)+\frac{1}{4}\cdot f\Big(\frac{2}{4}\Big)+\frac{1}{4}\cdot f\Big(\frac{3}{4}\Big)\\=\frac{1}{4}\cdot\Bigg( f\Big(\frac{0}{4}\Big)+f\Big(\frac{1}{4}\Big)+ f\Big(\frac{2}{4}\Big)+f\Big(\frac{3}{4}\Big)\Bigg)\\=\frac{1}{4}\cdot\Bigg(\Big(\frac{0}{4}+1\Big)+\Big(\frac{1}{4}+1\Big)+\Big(\frac{2}{4}+1\Big)+\Big(\frac{3}{4}+1\Big)\Bigg)\\=\frac{1}{4^2}\cdot (4+5+6+7)=\frac{22}{16}=1,375 $$

Also ist $$ U_4=1,375\leq A \leq 1,625=O_4 $$

Genauso gehst du bei den anderen vor.

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