Potenzfunktionen bestimmen

Question

hallo ,

Die Aufgabe lautet : finden Sie Potenzfunktionen die je durch  die Punke P , Q verlaufen. Sind ihre lösungsangaben eindeutig oder gibt es mehrere mögliche Funktionen ?

1) P ( 2/27) Q(4/125)

2) P (2/24) Q(5/937,5)

Kann mir das jemand schrittweise erklären wie man das lösen kann? Es wäre sehr hilfreich wenn man die benutzen Log gesetzte dazu schreibt da ich die nicht so gut kann

Comments

Was haben die Log-Gesetze mit Potenzfunktionen zu tun?

Oder meintest du Exponentialfunktionen?

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Ich meinte damit eigentlich wenn im exponent eine Variable steht braucht man doch Log um nach dieser Variable aufzulösen

Sind das nicht die log gesetzte

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Ich meinte damit eigentlich wenn im exponent eine Variable steht braucht man doch Log um nach dieser Variable aufzulösen

"wenn im Exponent eine Variable steht", handelt es sich um eine Exponentialfunktion. Du meinst vielleicht ein Parameter (z.B. n und nicht x bei f(x) = a*xⁿ).

Am besten gibst du das nächste mal erst mal die Form der Funktionsgleichung an, die gesucht ist, so wie sie bei dir im Buch / Heft steht.

Also f(x) = a * xⁿ

oder f(x) = a * b^x

oder f(x) = e^x wie https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Definition

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Hallo Lu,
Den Begriff Potenzfunktion hat der Fragesteller
zunächst richtig angeführt.
Klarheit bringt bei Google " Potenzfunktion "
und dann mit Wikipedia weiter.

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Lies meinen Kommentar nochmals. Er richtet sich an den Fragesteller.

Answer 1

eine Potenzfunktion sieht in der Schreibweise so aus:

$$f(x)=a\cdot x^n,\qquad a,n\in \mathbb{R}$$

Jetzt setzt du nur noch jeweils pro Punkt in diese Vorschrift ein:

$$P(2|27)\quad x=2\quad y=27\\(1)\quad 27=a\cdot 2^n$$

$$Q(4|125)\quad x=4\quad y=125\\(2)\quad 125=a\cdot 4^n$$

Jetzt gibt es verschiedene Wege dieses (nicht lineare Gleichungssystem zu lösen). Du kannst beide Gleichungen nach einer Variablen auflösen und dann so gleichsetzen oder du löst eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt den Ausdruck für die Variable in die andere Gleichung ein. Ich mache jetzt mal den ersten Weg und löse nach a auf.

$$(1)\quad 27=a\cdot 2^n\quad |:2^n\\a=\frac{27}{2^n}\\(2)\quad 125=a\cdot 4^n\quad|:4^n\\a=\frac{125}{4^n}\\\frac{27}{2^n}=\frac{125}{4^n}\quad |\cdot 2^n\quad|:125\\\frac{27}{125}=\frac{2^n}{4^n}=\Big(\frac{1}{2}\Big)^n\quad |\ln(.)\\\ln\Big(\frac{27}{125}\Big)=\ln\Big(\Big(\frac{1}{2}\Big)^n\Big)=n\cdot \ln\Big(\frac{1}{2}\Big)\quad |:\ln\Big(\frac{1}{2}\Big)\\ n=\frac{\ln\Big(\frac{27}{125}\Big)}{\ln\Big(\frac{1}{2}\Big)}\approx 2,2109$$

In (1) eingesetzt ergibt:

$$a\approx \frac{27}{2^{2,2109}}\approx 5,8320$$

Dann hast du also

$$f(x)=5,8320\cdot x^{2,2109}$$

Comments

Vielen Dank ich habe es nun verstanden

Answer 2

27 = a*2^b

125 = a*4^b = a*2^2b

Gleichungen dividieren:

27/125 = 2^-b

2^b = 125/27

b= ln(125/27)/ln2

Dann b einsetzen um a zu ermitteln.

Comments

Der Lösungsweg ist noch einfacher als
meiner.
Den kenne ich auch.
Hatte ihn nur vergessen.
Ein weiteres untrügliches Zeichen für bereits schon
vorhandene Demenz bei mir.

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Vielleicht bin ich doch noch nicht ganz dement.

27 = a * b²
125 = a * b⁴

Muß es nicht heißen

27 = a * 2^b
125 = a * 4^b

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Du hast Recht. Ich hab das mit der Exponentialfkt. verwechselt.

Offenbar stehe ich vor der Totalverkalkung. Danke. Werde edieren. :)

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Bei Verkalkungen empfehle ich ein Produkt
aus den 70er Jahren nämlich Calgon.

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Das nehm ich schon seit Jahren. Du siehst ja, was dabei rauskommt.

Ja,ja das Calgon,

auch ich kenn und nimm es lange schon.

Doch statt mein Hirn schützen,

scheint es kaum etwas zu nützen.

Drum kipp ichs mit enttäuschter Miene,

lieber wieder in die Waschmaschine. :)

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Klasse gereimt.

Zur Erinnerung : mein Favorit ist
Im Ameisenhaufen wimmelt es
ein Aff´ ist nichts verschimmeltes.
( Wilhelm Busch )

Bei dem Wort Favorit fiel mir gerade ein :
es gab auch einmal eine Waschmaschine
dieses Namens.

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Ich habe nachgeschaut
AEG Favorit
allerdings eine Geschirrspülmaschine

Answer 3

Ich habe einmal nachgeschaut : Potenzfunktion

f ( x ) = a * x^b
f ( 2 ) = a * 2^ b = 27
f ( 4 ) = a * 4^b = 125

a * 2^ b = 27
a = 27 / 2^b

a * 4^b = 125
27/2^b * 4^b = 125
27 * 4^b /2^b = 125
27 * 2^b = 125
2^b = 4.63 | ln ()
b * ln(2) = ln ( 4.63)
b = 2.21
Einsetzen
a * 2^2.21 = 27
a = 5.84

f(x) = 5.84 * x^2.21