Question

Aus 10 m Holzlatten wird ein Kantenmodell eines Quaders gebaut. Dabei soll beim Grundrechteck die Breite x um 50cm kürzer als die Länge sein. Stellen sie einen Funktionsterm auf, wie sich das Volumen des Quaders in Abhängigkeit von x ändert und skizzieren sie den Funktionsgraphen. Für welche Länge x wird das Volumen maximal?

Answer 1

Da über die Stärke der Latten nix gesagt ist, kann man die

wohl vernachlässigen.

Das Grundrechteck hat also die Seitenlängen x und x+50

Das gibt schon mal an Kanten   2*x  +  2*(x+50)

Der Deckel des Quaders hat die gleichen Kanten, das gibt zusammen

also    4*x + 4*(x+50)  . Dazu kommen noch die 4 Kanten von oben

nach unten, deren Länge ist die Quaderhöhe h, also sind die 12

Kanten zusammen    4*x + 4*(x+50)  + 4h  .

Und das alles zusammen soll die 10m ergeben, also  da wir bei der

50 mit cm gerechnet haben 1000 cm

                      4*x + 4*(x+50)  + 4h  = 1000      #

Das Volumen ist  V = x*(x+50)*h

und das h kann man loswerden, wenn man  # nach h auflöst,

das gibt h = h = 200-2x  also ist die gesuchte Formel

              V(x) = x*(x+50)*(200-2x) = -2x^3 + 100x^2 + 10000x