Wie?, Ableitung von 1/2x-1?

Question

WIE kann ich folgende Aufgabe lösen mit der Formel (f(h+x)-f(x))/2:

1/(2x-1)

Comments

Deine Angaben sind wirr. Was genau ist die Aufgabe? Sollst du die Funktion 1/(2x-1) mit der h-methode ableiten?

Answer 1

Die Ableitung der Funktion $$f(x)=\frac{1}{2x-1}$$ mit Hilfe der h-Methode ist die folgende:  $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ Wir haben folgendes: $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\frac{1}{2(x+h)-1}-\frac{1}{2x-1}}{h}=\frac{\frac{(2x-1)-(2(x+h)-1)}{(2(x+h)-1)(2x-1)}}{h} \\ =\frac{\frac{2x-1-2(x+h)+1}{(2x+2h-1)(2x-1)}}{h}=\frac{\frac{2x-2x-2h}{(2x+2h-1)(2x-1)}}{h}=\frac{\frac{-2h}{(2x+2h-1)(2x-1)}}{h} \\ =-\frac{2h}{(2x+2h-1)(2x-1)}\cdot \frac{1}{h}=-\frac{2}{(2x+2h-1)(2x-1)}$$ Somit bekommen wir $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\left(-\frac{2}{(2x+2h-1)(2x-1)}\right)\\ =-\frac{2}{(2x-1)(2x-1)}=-\frac{2}{(2x-1)^2}$$