Question

Wie muss a gewählt werden, damit die Fläche den angegebenen Inhalt hat?

a) \( f(x)=3 x^{2}+x \)

b) \( f(x)=x^{3}+a x, a>0 \)

c) \( f(x)=a x^{3}-a^{2} x, a>0 \)

Answer 1

Hallo Zitziv,

du musst jeweils mit einer Stammfunktion F von f

\(\int_{x_1}^{x_2} \! f(x) \, dx = F(x_2) - F(x_1)\) ausrechnen.

Liegt die Fläche über der x-Achse, ist  A  gleich dem Wert des Integrals.

Liegt die Fläche unter der x-Achse, ist  A  gleich dem Betrag des (negativen!) Integrals.

Du erhältst dann für A einen Term, der von a abhängig ist. Diesen setzt du gleich dem gegebenen Flächenwert. Dann hast du eine Gleichung, mit der du a ausrechnen kannst

z.B. c)

f(x) = ax³ - a²x    (a>0)

F(x) = a/4 · x⁴ - a² /2 · x²

\(A = |\int_{0}^{1} \! (ax^3 - a^2x)  \, dx |=|\frac { a }{ 4 }·1^4-\frac { a^2 }{ 2 }·1^2 - 0 | = |\frac { a }{ 4 }-\frac { a^2}{ 2 }| = 7\)

Rechts hast du jetzt 2 quadratische Gleichungen mit der Unbekannten a:

 a/4 - a²/2 = - 7  oder  a/4 - a²/2 = 7

 Multipliziert mit -2 ergibt sich geordnet

a² - a/2 - 14 = 0   [  a² - a/2 + 14 = 0 hat keine Lösung ]

Mit der pq-Formel  ergibt sich  a = 4   [ wegen a>0 entfällt die Lösung a = -7/2 ]

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a) [Lösung a=2]   und b) [Lösung a=7]   sind einfacher zu rechnen. 

Gruß Wolfgang