0 Daumen
267 Aufrufe

ich soll folgenden Grenzwert berechnen:


A025CF68-CA2B-4B63-9797-D406C40C1FCA.jpeg

Zum lösen verwende ich den Satz nach L‘Hospital!

Bin nur etwas ratlos, da mich das Ableiten von Nenner und Zähler nicht weiterbringt!

Würd mich freuen wenn mir jemand helfen könnte.

mfg

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen

Nach folg.Grenzwertsatz gilt:

$$ \lim\limits_{x\to\infty}(a*b) $$ = $$ \lim\limits_{x\to\infty} a  $$ *$$  \lim\limits_{x\to\infty}b $$

= $$ \lim\limits_{x\to\infty} (sin(x^4) +2)$$ *$$ \lim\limits_{x\to\infty} (x/(x^3+1)$$

der 2.Ausdruck ist 0, also ist der Grenzwert =0

Avatar von 121 k 🚀
0 Daumen

du kannst das auch mit dem sogenannten Sandwichtheorem machen, indem du eine Abschätzung nach oben und eine nach unten machst.

Man weiß, dass gilt:

$$ -1\leq \sin(x^4) \leq 1 $$.

Dann hat man also:

$$ \frac{x}{x^3+1}=\frac{x\cdot (-1+2)}{x^3+1}\leq \frac{x\cdot (\sin(x^4)+2)}{x^3+1}\leq \frac{x\cdot (1+2)}{x^3+1}=\frac{3\cdot x}{x^3+1} $$

Offensichtlich ist:

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^3+1}=0 $$

und

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{3\cdot x}{x^3+1}=0. $$

Also folgt auch:

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x\cdot (\sin(x^4)+2)}{x^3+1}=0. $$

EDIT: Da man sich beim Limes immer für sehr große x interessiert, spielen die anfänglichen x-Werte keine Rolle.

Avatar von 14 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community