Folge grenzwert bestimmen gegen + unendlich

Question

a_n=$\prod_{k=1}^n \frac{2}{k}$

c) Berechnen Sie lim n→∞a_n, falls dieser existiert

Problem/Ansatz:

a_n=$\frac{2^n}{n!}$ ist konvergent, da monoton fallend und beschränkt.

aber wie kann ich jetzt den grenzwert berechnen?

habs mal versucht aufzuschreiben und am ende sieht man halt dass das letzte glied gegen 0 geht und somit alles gegen 0 geht.  würde das ausreichen als begründung?

$\frac{2n}{n!}$ = $\frac{2}{1}$ * $\frac{2}{2}$ * ... * $\frac{2}{(n-1)}$ * $\frac{2}{n}$

Answer 1

Falls ihr schon Reihen gehabt habt, kannst du hier das Quotientenkriterium anwenden:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac 2{n+1}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0$$

Damit ist sogar die Reihe $\sum_{n\in\mathbb N}a_n$ konvergent und somit ist $(a_n)$ eine Nullfolge.

Du kannst aber auch "zu Fuß" argumentieren:

Für $k\geq 4$ gilt $\frac 2k \leq \frac 12$. Also gilt

$n\geq 4 \Rightarrow a_n =\prod_{k=1}^{n}\frac 2k = \frac{2^3}{3!}\prod_{k=\color{blue}{4}}^{n}\frac 2k\leq \frac 43 \cdot \frac 1{2^{n-3}}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0$