Wachstumsgeschwindigkeit eines Baumes wird mit Exponentialfunktion f(x) = 90 · 0,87^x modelliert

Question

Exponentialfunktionen im Sachzusammenhang

Kann mir jemand die ganze Aufgabe lösen am besten mit Rechenweg, damit ich es verstehe.

Die Wachstumsgeschwindigkeit eines Baumes in cm pro Jahr soll im Folgenden durch die Funktion f mit f(x) = 90 · 0,87^x modelliert werden, wobei x die Zeit in Jahren nach der Pflanzung angibt. Der Baum ist zum Zeitpunkt der Pflanzung 90 cm hoch.

a) Bestimmen Sie die Halbwertszeit von f und erläutern Sie die Bedeutung dieses Wertes.

b) Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit nach 10 lahren.

c) Berechnen Sie, wann die Wachstumsgeschwindigkeit 50 cm pro lahr beträgt.

d) Geben Sie eine Stammfunktion von f an.

e) Berechnen Sie mithilfe einer Stammfunktion \( \int_{0}^{10} f(x) dx \). Erläutern Sie das Ergebnis im Kontext.

f) Berechnen Sie die Höhe des Baumes nach 20 lahren.

g) Berechnen Sie die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit innerhalb der ersten 20 Jahre.

Answer 1

2.b) Die Ableitung der Wachstumsfunktion nennt die Wachstumsgeschwindigkeit:

f'(x)=90·ln(0,87)·0,87^x. Wann ist f'(x)=50?

50=90·ln(0,87)·0,87^x.

Berechnung von x mit dem Logarithmus.

(Es fehlt in der Aufgabenstellung die Information, dass f(x) die Größe des Baumes in cm ist)

Comments

kannst du mir die nr f erklären und rechen

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f(x) ist bereits die Wachstumsgeschwindigkeit und muss deshalb auch nicht nochmal abgeleitet werden.

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ich habe dort 688 cm raus nach 20 jahren also integral 0 bis 20 kannst du gucken ob das richtig ist (nr f )

hast du bei der g) 30,305 als wachstumsgeschwidgkeit mittlere raus ?

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Wie hast du f gerechnet? Ich kriege 606,42 raus. Da muss man dann aber wohl noch die 90 draufrechnen und erhält 696,42.

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ich habe 90+ integral von 0 bis 20

und am ende hatte ich -39-9-(-646) +90

und dann kam 688

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F(20)=90/ln(0,87)*0,87^20=-39,88

F(0)=-646,3

F(20)-F(0)=-39,88-(-646,3)=606,42

606,42+90=696,42

Answer 2

Es ist f(0)=90  also musst du die Gleichung   f(x)=45 .

90 * 0,87^x = 45

<=> 0,87^y = 0,5

<=> x= ln(0,5) / ln(0,87) =4,977, also etwa 5.

Nach 5 Jahren hat sich die Wachstumsgeschwindigkeit halbiert.

Nach 10 Jahren ist sie f(10) =22,36  cm pro Jahr.

50 cm pro Jahr ,  wenn f(x) = 50 . Das gibt  4,2. Also nach etwa 4,2 Jahren ist das so.

Eine Stammfunktion ist   -646 * 0,87^x

Integral 0 bis 50 ist dann also etwa 646.  In 50 Jahren ist der Baum um 646 cm gewachsen.

Mit den anfänglichen 90 cm ist er dann  736 cm hoch.

Comments

wie hast du die nr e gerechnet ? da steht 0 bis 10