Welche der Ebenen E1, E2, E3, E4 sind zueinander parallel?

Question

ich benötige bei folgender Aufgabe Hilfe:

a) Welche Ebenen E1 , E2, E3, E4 sind zueinander parallel?

E1 : 2x1 - x2 + 3x3 = 10

E2 : 3x1 + 5x2 + 3x3 =1

E3 : -4x1 + 2x2 - 3x3 = -19

E4 : -3x1 - 5x2 - 3x3 = -1

b) Geben Sie eine Gleichung einer Ebene F an, die parallel zu E1 ist und durch den Punkt P (2|3|7) geht.

Answer 1

Betrachte die Koeffizienten. Diese bilden den Normalenvektor der Ebene in Koordinatenform8die hier vorliegt)

Jetzt prüfst du mit zwei Normalenvektoren nach, ob sie kollinear sind. Wenn sie es sind, dann sind die Ebenen parallel.

E1 und E2:

$$ \begin{pmatrix}2\\-1\\3 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix}3\\5\\3 \end{pmatrix}\\2=3r\Leftrightarrow r=\frac{2}{3}\\-1=5r\Leftrightarrow r=-\frac{1}{5}\\3=3r \Leftrightarrow r=1 $$ Weil hier r nicht eindeutig ist, sind E1 und E2 nicht parallel zueinander.

Zu b) Setze P in E1 ein. Du bekommst eine Zahl (ich nenne sie mal S) raus. Weil F parallel zu E1 sein soll, musst du auch denselben Normalenvektor verwenden, also einfach die Koeffizienten von E1 übernehmen und ihre Summe mit der Zahl S gleichsetzen. Fertig.

Answer 2

Schreibe die Normalenvektoren nebeneinander

E₁ E₂ E₃ E₄

2   3  -4  -3

-1  5   2  -5

3   3  -3  -3

E₁ und E₃ sowie E₂ und E₄ sind parallel.

Comments

Wie sind E1 und E3 zueinander parallel, wenn die Normalvektoren nicht kollinear zueinander sind.

2    -4

-1    2

3    -3