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E1=((x1,x2,x3,x4) aus R^4 , x1+x2+x3+x4=0)

E2=((x1,x2,x3,x4) ausR^4 , x1=x2=0)

E3=(x1,x2,x3,x4) aus R^4 , x3=x4=0)

E4=((x1,x2,x3,x4) aus R^4 , x1<=0)

E5=Q^4

Sind E1,E2,E3,E4;E5 lineare Unterräume vom R-Vektorraum R^4?

Berechnen Sie E2∩E3.
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E1=((x1,x2,x3,x4) aus R^4 , x1+x2+x3+x4=0)

E2=((x1,x2,x3,x4) ausR^4 , x1=x2=0)

E3=(x1,x2,x3,x4) aus R^4 , x3=x4=0)
E4=((x1,x2,x3,x4) aus R^4 , x1<=0)

E5=Q^4

Sind E1,E2,E3,E4;E5 lineare Unterräume vom R-Vektorraum R^4?

E1,E2,E3 sind lineare Unterräume von R^4. 
Sie enthalten alle den Punkt (0,0,0,0) und linearkombinationen von beliebigen Elementen aus diesen Ei geben wieder Elemente aus Ei.

E4 nicht. 
Begründung:
E4: (-2,3,4,5) Element E4 aber zB (-2)(-2,3,4,5) = (4,-6,-8,-10) nicht Element E4

E5 definitionsanhängig. Es kommt drauf an, ob der skalare Faktor nur noch aus Q stammen darf. 
Dann ja. Das wäre dann ein Q-Vektorraum, kein R-Vektorraum.
Wenn aber als skalare Faktoren alle Zahlen in IR zugelassen sind nicht: Bsp. (1,2,3,4) in Q^4 und √2(1,2,3,4,) = (√2, 2√2, 3√2, 4√2) nicht in Q^4.


Skalare Faktoren müssen aus einem Körper stammen. (vgl http://de.wikipedia.org/wiki/Untervektorraum ) Das wäre bei Q und IR erfüllt. Aber nicht bei zB IR-. Daher E4 sicher nicht E5 eher schon. 
 

Berechnen Sie E2∩E3 = {(x1,x2,x3,x4) aus R^4, x1=x2=0 und x3=x4=0} =  {(x1,x2,x3,x4) aus R^4, x1=x2= x3=x4=0} ={(0,0,0,0)} 

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