Verkettung von Abbildungen

Question

Seien X,Y und Z Mengen. x∈X, y∈Y und z∈Z.

zu zeigen: Jede Abbildung f:X-->Z kann dargestellt werden als Verkettung zweier Funktionen nämlich einer injektiven Funktion h und einer surjektiven Funktion g.
Also: f(x)= (hοg) (x)= h(g(x)).

Warum muss g surjektiv und h injektiv sein?

Answer 1

g und h müssen nicht injektiv/surjektiv sein, nur in deiner Aufgabe!

Comments

Ja, eben. Ich denke, das ist hier der springende Punkt: Nur in dieser Aufgabe.

Answer 2

d.h. ich muss zeigen, dass TROTZ injektivität und surjektivität der einzelnen abbildungen sich die Abbildung f trotzdem noch darstellen lässt oder wie?

Answer 3

ohne spezielle Forderungen an die Mengen ist die Aussage noch nicht richtig:

Sei X = {1, 2, 3} = Z und Y = {1}. Sei f die Identität, das heißt die Abbildung, die x aus X nach z aus Z mit x = z abbildet. Eine surjektive Abbildung g ist möglich: g(x) = 1. Ebenso ist eine injektive Abbildung h möglich: h(1) = 1. h * g kann aber nicht die Abbildung f repräsentieren, da h(g(x)) = 1 für alle x, aber f(x) = x für alle x, das heißt f ungleich h*g.

Es gibt auch keine weitere surjektive g und injektive h, sodass h * g = f:

Das Gegenbeispiel basiert darauf, dass Y weniger mächtig als Z ist.

MfG

Mister