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Hallo Leute,

(Das ist die Überarbeitung des letzen Posts - Komposition und Abbildungen)

ich habe eine Übung gemacht und möchte gerne euch herzlich bitten meine Lösung + meinen Ansatz zu beurteilen ob es richtig ist oder falsch. Wenn es falsch ist, könnt ihr mir dann erklären warum? :)

Hier ist meine Aufgabe

Es seien die folgenden Mengen gegeben: A := {n ∈ Z ∣ 0 ≤ n ≤ 10} und C := {5,6,7,8}. Außerdem seien die folgenden Abbildungen gegeben:


i: A → Z, n ↦ n;

f: C → A, n ↦ n/2 falls n gerade ist und n ↦ (n−1) / 2 falls n ungerade ist;

g: Z → A, z ↦ r, wobei z = 11q + r mit q,r ∈ Z und 0 ≤ r < 11.


Bei den Fragen nach Anzahlen geben Sie entweder eine Zahl oder das Wort unendlich ein.



Mein Ansatz:

1) Wieviele Elemente hat das Bild von i ° g?

Meine Antwort: 11, da Funktion g eine ganze Zahl in zwei Teile zerlegt. Dies geht 11 mal mit Rest r.


2) Welche Kompositionen sind hier definiert?

(A) i∘f

(B) f∘i

(C) i∘g

(D) g∘i

(E) f∘g

(F) g∘f

Bei der Komposition muss es (glaube ich) so sein, dass der Definitionsbereich einer Abbildung identisch sein soll mit dem Wertebereich einer anderen Abbildung.

Meine Antwort: (A) (A -> A) wegen idA, (C) (A -> A) idA, (D) (ℤ -> ℤ) idℤ und (F) (C -> A) wegen f.

3) Sei h=g∘i∘f. Wieviele Elemente hat die Faser h−1({3})

h = g ° i ° f <=> g ° (i °f) <=> g ((i ° f) (x)) <=> g(i(f(x)))

Wegen Assoziativgesetz: C -> A


C:= 5, 6, 7, 8 ; A:= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

5 -> 2; 6 -> 3; 7 -> 3; 8 -> 4 (laut der Bedingung)

Somit: h−1({3}) = 2 Elemente


4) Wieviele nicht-leere Fasern hat f?

Meine Antwort: 3 , weil A 11 Elemente besitzt (A := {0, 1, ..., 10} und C nur die 2, 3 doppel und die 4 abgebildet hat. Somit sind die restlichen Elemente nicht abgebildet. Das bedeutet diese 8 nicht-abgebildete Elemente sind leere Faser. 2, 3 und 4 sind nicht leer.

5) Wieviele Elemente hat das Urbild von {3,4} unter f?

Meine Antwort: 3, weil 3 das Urbild von 6 und 7 ist und 4 das Urbild von 8.

So bin ich vorgegangen. Stimmen meine Ergebnisse? Wenn nein, bitte korrigiert mich.

Ich bedanke mich im Voraus.


von
Bei der Komposition muss es (glaube ich) so sein, dass der Definitionsbereich einer Abbildung identisch sein soll mit dem Wertebereich einer anderen Abbildung.

Damit die Komposition g o f  definiert ist, muss  Wf  ⊆ D gelten.

( Alles, was bei f "rauskommt", muss man in g einsetzen können.)

Wie ich das verstanden habe, sind alle Kompositionen richtig außer A.

Achso es darf nicht identisch sein?

W Dg  bedeutet  "echte Teilmenge oder identisch"

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Hi Vikiller,


kurze Frage: könntest du deine Antwort für 1) und 3) etwas ausführen? Ich komm bei den Kompositionen noch nicht so ganz klar und auch die Abbildung i bereitet mir einiges Kopfzerbrechen.
Wäre nett, zumal mir die Aufgabe so bekannt vorkommt, dass ich mir sicher bin, dass wir "am selben Strang ziehen" sozusagen :D

von

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