Reelle Zahlenfolge aufsummieren: a_(n) = 1 / 2^{n-1}

Question

Könnte mir jemand mit dieser Aufgabe weiterhelfen:

Das allgemeine Glied einer Folge lautet an \( a_n = \frac{1}{2^{n-1}} \)

Welches Ergebnis ist für die „Summe" aller (unendlich vieler) Folgenglieder zu erwarten? Versuche das vielleicht verblüffende Ergebnis zu deuten (z. B. durch geometrische Überlegungen).

Answer 1

Die Folgenglieder lauten 1, 1/2, 1/4, 1/8,...

Das ist eine unendliche geometrische Folge mit der Summe 2. Nach Addition jedes Summanden fehlt genau dieser an der Summe 2.

Answer 2

du kannst auch hier die Summenformel für geometrische Folgen verwenden. Ansatz ist $$ \sum_{k=0}^n q^k =\frac{1-q^{n+1}}{1-q} $$ Damit betrachtest du dann den Limes für n gegen ∞.

Comments

Wir haben aber die Geometrischen Folgen noch nicht gemacht....gibt es somit auch eine andere möglichkeit?

---

Man könnte sich auch folgendes Szenario vorstellen.

Deine Folge beschreibt die Menge an zu sich genommener Schokolade. Am ersten Tag ist es eine Tafel Schokolade, am nächsten Tag nur noch die Hälfte. Also mit jedem Tag ist die Menge an gegessener Schokolade nur noch halb so hoch wie am Vortag. Jetzt könnte man sich die Frage stellen, wie viele Tafeln Schokolade man so in unendlich vielen Tagen zu sich nehmen würde.

Answer 3

probier die Summe doch mal aus:

S≈1+1/2+1/4+1/8+1/16=1.9375

Vermutung: Summe=2

Eine geometrische Überlegung findest du in folgendem Bild:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Geometrische_reihe.svg/2000px-Geometrische_reihe.svg.png