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Ich muss den Durchstoßpunkt der Geraden g durch die Ebene E berechnen. Gegeben ist folgendes:

g=(AB) mit A(8/-9/11) und B(10/-12/15)

E=(PQR) mit P(1/0/0); Q(3/1/0) und R(0/-1/-1)

Ich habe gedacht ich muss den Punkt A von B abziehen um x raus zu kriegen, aber weiter weiß ich nicht. Könnt ihr mir bitte helfen?

Lg

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             8                    2
g :  x=  -9    +    r *      -3
           11                     4

und entsprechend die Ebenengleichung

                 1                  2                    -1
E:    x =     0     +   s*    1           + t *   -1
                  0                  0                   -1

Jetzt gleichsetzen und rst ausrechnen.

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  Liebe Cäcilia ; Ich sage es immer wieder;  als erstes musst du die Parameterform  ( PF ) der Ebene in ihre Koordinatenform  ( KF ) umrechnen.  Das geschieht über eine Determinante.  Ich erklär dir das jetzt mit allgemeiner  AGULA  . Solltest du allerdings  ===>  Kreuzprodukt drauf haben, melde dich nochmal.

      Die Ebene hat die beiden Basisvektoren


      u  :=  Q  -  P  =  (  2  |  1  |  0  )        (  1a  )

      v  :=  R  -  P  =  (  1  |  1  |  1  )       (  1b  )


      Einen Richtungsvektor darfst du umnormieren;  daher lasse ich in ( 1b ) die ganzen Minuszeichen weg.   Dann lautet die PF offenbar


      E  (  r  ;  s  )  =  P  +  r  u  +  s  v  =:  P0  €  E      |  -  P        (  2  )


       Das ganze, was wir hier machen, ist ein Vexierspiel zwischen den Begriffen UnBESTIMMTE und Unbekannte.    Unter P0  sollst du dir einen unbestimmten Punkt der Ebene vorstellen


           P0  :=  (  x  |  y  |  z  )       (  3  )


       Und in ( 2 ) habe ich wie üblich den Umformungsschritt vermerkt.


           r  u  +  s  v  =  P0  -  P  =  (  x  -  1  |  y  |  z  )         (  4  )


       Und jetzt drehe ich die ganze Argumentation um.  Ich sage nein, den Punkt P0 haben wir mit Pattex fest geklebt;   P0  ist eine vorgegebene Konstante.   Dann auf einmal verwandeln sich   r und s in Unbekannte;     und    ( 4 ) ist ein  LGS   zur Bestimmung von r und s .

    Die Koeffizientenmatrix   (  KM  )  dieses LGS   ist vom Format 3 X 2  ,  und ihr ===>  Rang ist 2 .   ( Zwei unabhängige Spaltenvektoren  u und v , die   die Ebene E aufspannen. )

    Dann ist aber die ===>  erweiterte  KM  von ( 4 )  QWUADRATISCH   vom format  3  X  3  ; ihr Rang ist eben Falls 2  .

      Ihre  DETERMINANTE VERSCHWINDET  .

      Warum Rang 2 ?   Lösbarkeit von ( 4 ) heißt doch gerade:  Die rechte Seite von ( 4 ) muss darstellbar sein als Linearkombination von u und v .


                det  (  u  |  v  |  P0  -  P  )  =  0          (  5  )


     Man  kann dies auch einfacher sagen;     anschaulich bedeutet eine Determinante ein Spatvolumen.   IQ-Test

      "   Quadrat verhält sich zu Rechteck wie Würfel zu? Zu quader.   "

     " Rechteck verhält sich zu Parallelogramm wie Quader zu?  Zu Spat. "


    Das LGS  ( 4 ) sagt aus,   dass diese drei Vektoren in deiner Determinante komplanar sind;  wenn drei Vektoren in einer Ebene liegen, ist das von ihnen aufgespannte Volumen gleich Null.

     Unser Musiklehrer Pauli machte mit uns übrigens exorbitant viel  Teorie.

     " Welchen Notenwert hat der Pauli? "

     " Halbe; hohler Kopf mit Hals ... "

     Und dann hatte der immer den Spruch drauf

     " So. Das war die Teorie; und jetzt kommt die Praxis. "

      Bei Lichte besehen ist eine Determinante weiter nix wie eine Tabelle, die du nur richtig füllen musst mit  den Angaben aus  ( 1ab;3;4  )



                      |       2           1           x - 1           |

       det  =     |        1            1            y              |          =            (  6a  )      

                     |         0           1            z              |



     =  ( 1 * 1 - 1 * 0 ) ( x - 1 )  + ( 1 * 0 - 2 * 1 ) y  + ( 2 * 1 - 1 * 1 ) z  =  0     (  6b  )   (  Onkel Sarrus  )

       =  x   -  2  y  +  z  =  1       (  6c  )



      ( Probe für P , Q und R ! )


       Um dir die Sache schmackhaft zu machen; hier wird nicht mit drei, sondern nur mit einer Unbekannten gerechnet;  an der Ebene is ja nix mehr unbekannt.   Von dem Mathechef übernehme ich weiter nix als die Gerade; schau mal her:


      x  =  8  +  2  r  ;   y  =  -  9  -  3  r  ;  z  =  11  +  4  r      (  7a  )


     Und jetzt ganz naiv  ( 7a ) einsetzen in ( 6c )


      8  +  2  r  +  18  +  6  r  +  11  +  4  r  =  12  r  +  37  =  1  ===>  r  =  (  -  3  )   (  7b  )


       Jetzt diesen r-Wert einsetzen in ( 7a )   für den Durchstoßpunkt


     (  x  |  y  |  z  )  =  (  2  |  0  |  -  1  )       (  7c  )


     Unser gefürchteter Scientologe    " Rolf Thierbach "  hätte gesagt

      " Meine Herren; das war alles ... "

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