Durchstoßpunkt einer Geraden durch eine Ebene

Question

ich habe hier folgende Aufgabe:

In welchem Punkt D durchstößt die Gerade g, die auf der Ebene E mit der Gleichung Vektor(r)=(4 0 0)+λ*(1 1 0)+µ(-1 0 1)

(Ich weiß nicht wie man hier Vektoren darstellt^^, ich hoffe man kann es erkennen) mit µ,λ∈ℝ senkrecht steht und durch den Punkt P(1,2,3) geht, die Ebene?

Wie löst man solche Aufgaben?

Answer 1

Hallo HH,

als Richtungsvektor von g kann man den Normalenvektor von E nehmen, der sich als Kreuzprodukt (Vektorpodukt) der Richtungsvektoren von E ergibt:

[1, 1, 0] ⨯ [-1, 0, 1]  =  [1, -1, 1]

dann erhältst  z. B. du aus der Gleichung 

[1, 2, 3] + r·[1, -1, 1]  =  [4, 0, 0] + s·[1, 1, 0] + t·[-1, 0, 1] 

das LGS 

 ⇔    1 + r = 4 + s - t    und   2 - r = s  und  3 + r = t  

die Terme für s und t in die 1. dieser  Gleichungen einsetzen ergibt

r = 2/3  ;     [  s = 4/3  ;   t = 11/3   werden nicht mehr benötigt ]

r in die Geradengleichung eingesetzt ergibt den Schnittpunkt  ( 5/3 | 4/3 | 11/3 )

Gruß Wolfgang