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Fourieranalyse, Faltung zweier Signale
Bei der Berechnung des Ausgangssignals eines linearen, zeitinvarianten Systems (LTI-System) mit einem gegebenen Eingangssignal macht man oft Gebrauch von der Faltung dieses Eingangssignals mit der Impulsantwort des Systems oder, im Frequenzbereich, der Multiplikation der Fouriertransformierten des Eingangssignals mit dem Frequenzgang des Systems.
Der Frequenzgang des gegebenen Systems ist \(G(f) = 3\cdot\cos(2\pi f T_0)\), wobei \(T_0 = 55\,ms\).
Das Eingangssignal ist ein Rechteckimpuls von 5V, der bei \(T_2 = 12\,ms\) beginnt und bei \(T_3 = 23\,ms\) endet.
Zu finden ist die maximale Amplitude des Ausgangssignals, sowie Anfangs- und Endzeitpunkt.
Frequenzgang eines Systems
Der Frequenzgang \(G(f)\) gibt uns an, wie ein System, hier durch die Funktion \(3\cdot\cos(2\pi f T_0)\) beschrieben, jede Frequenzkomponente des Eingangssignals beeinflusst. Diese Beeinflussung umfasst Änderungen in Amplitude und Phase.
Fourier-Transformation des Rechteckimpulses
Die Fourier-Transformation eines idealen Rechteckimpulses ist nicht trivial und resultiert in einer Funktion, die in der Form von \(sinc\) (sinus cardinalis) Ausdrücken erscheint. Die Formel für eine einfache Fourier-Transformation eines Rechteckimpulses der Amplitude \(A\), der von \(T_2\) bis \(T_3\) dauert, ist
\(
X(f) = A \cdot e^{-j\pi f (T_2+T_3)} \cdot \frac{\sin(\pi f (T_3-T_2))}{\pi f}
\)
wobei \(j\) die imaginäre Einheit ist.
Berechnung des Ausgangssignals
Das Ausgangssignal im Frequenzbereich erhält man durch Multiplikation des Frequenzgangs mit der Fouriertransformierten des Eingangssignals:
\(
Y(f) = G(f) \cdot X(f)
\)
Da das Ziel jedoch ist, die maximale Amplitude und den Zeitpunkt zu finden, sollten wir auf den originalen Problemkontext zurückkommen, dass wir die analytische Lösung oder die Inverse Fourier-Transformation von \(Y(f)\) nicht direkt angehen müssen. Stattdessen können wir überlegen, wie die Eigenschaften von \(G(f)\) und \(X(f)\) die Antwort beeinflussen.
Maximale Amplitude
Da \(G(f)\) ein kosinusförmiger Faktor ist, wird es sowohl Verstärkung (wenn der Kosinus positiv ist) als auch Dämpfung (wenn der Kosinus negativ ist) für verschiedene Frequenzen des Eingangssignals geben. Das \(3\)-fache des \(\cos\)-Terms deutet darauf hin, dass die maximale Verstärkung \(3\)-fach ist, weswegen die maximale Amplitude des Ausgangssignals die ursprüngliche Amplitude des Eingangsimpulses (5V) mal dem maximalen Wert von \(G(f)\), also \(3\), betragen kann. Das ergibt
\(
\text{Maximale Amplitude} = 5V \times 3 = 15V
\)
Anfangs- und Endzeitpunkt
Die Faltung im Zeitbereich, die der Multiplikation im Frequenzbereich entspricht, führt zu einer zeitlichen Ausdehnung des Ausgangssignals. Jedoch ändern weder die Faltung noch die kosinustransformierte Form von \(G(f)\) den Anfangs- und Endzeitpunkt des Ausgangssignals direkt, da sie keine zeitliche Verschiebung sondern eine Formveränderung (mittels Frequnzänderung) einführen. So bleibt der Anfangszeitpunkt bei \(T_2\) und der Endzeitpunkt bei \(T_3\).
Zusammenfassend:
-
Maximale Amplitude des Ausgangssignals: 15V
-
Anfangs- und Endzeitpunkt: Unverändert bei \(T_2 = 12\,ms\) und \(T_3 = 23\,ms\)
Beachte, dass diese Antwort die übergeordnete Beziehung zwischen Ein- und Ausgang auf einer konzeptionellen Ebene vereinfacht. Real könnte jedoch je nach spezifischer Systemantwort und -integration eine komplexere Analyse notwendig sein.
