Sigma Algebra angeben

Question

folgende Aufgabe bei der ich etwas Verständlichkeitsprobleme habe.

Sei X eine Menge und seien A und B zwei Teilmengen von X. Definieren Sie Ν durch N:={A, B} ∈ P(X). Sei σ(N) die von N erzeugte σ-Algebra.

a) Beschreiben Sie σ(N).

=> Sieht meine σ-Algebra dann wie folgt aus: σ(N)={∅, N, A, B} oder wäre es σ(N)={∅, N, A, B, N^c}? Ich neige zur ersten Option, weil meine σ-Algebra über N und nicht über X ist. Aber ich kann mich sehr gut irren.

b) Wie viele Elemente kann σ(N) höchstens enthalten? Geben Sie Beispiele für X, A und B, sodass σ(N) weniger Elemente als die maximale Anzahl enthält.

=> Da bin ich etwas unsicher. Ist die maximale Anzahl der Elemente nicht abhängig von der Anzahl der Elemente in A und B ? Also zusätzlich zu einer der beiden σ-Algebren oben käme noch A∪B hinzu ? Und dann der zweite Teil, wenn ich nun meine Mengen habe, wäre dann mit A∩B "garantiert", dass ich weniger Elemente als die maximale Anzahl habe?

Answer 1

Definieren Sie Ν durch N:={A, B} ∈ P(X).

Nein, das mache ich nicht. Wenn {A, B} ∈ P(X) ist, dann ist A∈X und B∈X. Laut Aufgabenstellung ist auch A⊂X und B⊂X. Das ist mir zu kompliziert.

Ich gehe deshalb davon aus, dass N := {A, B} ⊂ P(X) gemeint ist.

Sei σ(N) die von N erzeugte σ-Algebra.

Das ist der Durchschnitt aller σ-Algebren, die jedes Element von N enthalten. Die Elemente von N sind Teilmengen von X. Also sind auch die Elemente von σ(N) Teilmengen von X.

Beschreiben Sie σ(N).

σ(N) ist die Menge aller Teilmengen von X, die sich mittels Vereinigung (∪) und Differenz (\) aus Elementen der Menge {A, B, X} erzeugen lassen.

Wie viele Elemente kann σ(N) höchstens enthalten?

So viele wie die Potenzmenge von X.

Beispiel. X = {1, 2}, A = {1}, B = {2}. Dann ist σ(N) = {∅, {1}, {2}, {1,2}} = P(X).

Geben Sie Beispiele für X, A und B, sodass σ(N) weniger Elemente als die maximale Anzahl enthält.

X = {1, 2}, A=∅, B=X.

Comments

N:={A,B} ∈ P(X) steht tatsächlich so in der Aufgabenstellung. Vielleicht haben die sich da vertippt.

Also wäre für die (a) σ(N)={∅, N, A, B, N^c} ? Oder gehört X da auch rein ?

Ich glaube ich bin etwas verwirrt von der Formulierung. Wo genau ist der Unterschied zwischen "σ-Algebra über X" und "σ-Algebra über N" ?

---

Die Elemente einer σ-Algebra über X sind Teilmengen von X.Die Elemente einer σ-Algebra über N sind Teilmengen von N.