Gegenseitige Lage von zwei Ebenen

Question

Hallo , ich habe hier folgende Aufgabe, bei der ich schon angefangen habe zu rechnen. Ich habe erst die Ebene E in die Koordinatenform gebracht und dann habe ich die F da eingesetzt, aber ich habe dann u-3v=0 rausbekommen und das kann ja nicht richtig sein. Könnt ihr mir helfen bitte?:

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Ebenen E und F und geben Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt an:

E: x=(4/4/-5)+s*(1/2/-1)+r*(2/-1/1)

F: x=(3/2/-4)+u*(1/0/0)+v*(0/1/0)

Schnittgerade g:x= (4/4/-5)+t*(1/1/-1)

Schnittgerade f:x= (3/2/-4)+t*(3/1/0)

Liebe Grüße

Answer 1

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Ebenen

Mögliche Ergebnisse:

1. Die Ebenen sind parallel aber nicht identisch.
   
2. Die Ebenen schneiden sich in einer Geraden.
3. Die Ebenen sind identisch.
   

E: x=(4/4/-5)+s*(1/2/-1)+r*(2/-1/1)
F: x=(3/2/-4)+u*(1/0/0)+v*(0/1/0)

Löse das Gleichungssystem

        (4/4/-5)+s*(1/2/-1)+r*(2/-1/1) = (3/2/-4)+u*(1/0/0)+v*(0/1/0).

Fall 1 tritt ein, wenn das Gleichungssystem keine Lösung hat.

Fall 2 tritt ein, wenn in der Lösung ein Parameter vorkommt.

Fall 3 tritt ein, wenn in der Lösung zwei Parameter vorkommen.

geben Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt an

Es gibt in keinem Fall einen eindeutig bestimmten Schnittpunkt, sondern entweder keinen oder unedlich viele. Wenn es gemeinsame Punkte gibt, dann bilden diese entweder eine Gerade (Fall 2) oder eine Ebene (Fall 3).

Im Fall 2 wird die Gerade bestimmt indem die Lösung in eine der Ebenengleichungen eingesetzt wird.

Im Fall 3 ist E die gesuchte Ebene.

Spoiler: Schnittgerade ist x = (6/3/-4) + t·(3/1/0).

Comments

Hallo Oswald, erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe es jetzt versucht gleichzusetzen und habe als Ergebnis:

die Schnittgerade f:x= (3/2/-4)+t*(3/1/0)

Stimmt das?

Liebe Grüße

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Deine Schnittgerade ist korrekt.

Answer 2

Ich habe erst die Ebene E in die Koordinatenform gebracht und dann habe ich die F da eingesetzt, aber ich habe dann u-3v=0 rausbekommen und das kann ja nicht richtig sein.

Warum sollte das nicht richtig sein? Setze u=3v in F ein, fasse zusammen und du bekommst x= (3/2/-4)+v*(3/1/0), als Schnittgeradengleichung. Dies entspricht genau der Geraden f im Start und in deinem Ergebnis aus dem Gleichsetzen der beiden Parameterformen.