Geschlossener Ausdruck für Summe bestimmen: ∑k*2^k für k=1 bis n

Question

Bestimmen sie einen geschlossenen Ausdruck für: ∑k*2^k für k=1 bis n

Ich weiß, dass ich hierzu das Abelsche partielle Summationsgesetz nutzen kann.

Damit würde ich ak := k und bk:= 2^k definieren.

Und ich weiß, dass die Summe von k = 1/2* n(n+1) ist.

Aber ich weiß nicht so ganz, wie ich das nutzen soll.

Danke für die Hilfe

Comments

Damit würde ich ak := k und bk:= 2k definieren.

Besser klappt es genau andersrum. Und dann kann es ja nicht weiter schwierig sein, das in die Formel https://de.wikipedia.org/wiki/Abelsche_partielle_Summation einzusetzen.

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Hatte ich doch bereits in meiner Antwort geschrieben und vorgemacht.

Answer 1

Du kennst nicht die Summe von bk = 2^k oder?

Dann würde ich das so lösen:

ak = 2^k
An = ∑ (k = 1 bis n) (bk) = 2·2^n - 2

bk = k
Bn = ∑ (k = 1 bis n) (ak) = 1/2·n·(n + 1)

∑ (k = 1 bis n) (k·2^k)
= ∑ (k = 1 bis n) (2^k · k)
= (2·2^n - 2)·(n) + ∑ (k = 1 bis n - 1) ((2·2^k - 2)·(k - (k + 1)))
= 2·n·(2^n - 1) + ∑ (k = 1 bis n - 1) (2 - 2^{k + 1})
= 2·n·(2^n - 1) + ∑ (k = 1 bis n - 1) (2) - ∑ (k = 1 bis n - 1) (2^{k + 1})
= 2·n·(2^n - 1) + 2·(n - 1) - ∑ (k = 1 bis n - 1) (2·2^k)
= 2·n·(2^n - 1) + 2·(n - 1) - 2·∑ (k = 1 bis n - 1) (2^k)
= 2·n·(2^n - 1) + 2·(n - 1) - 2·(2·2^{n - 1} - 2)
= 2^{n + 1}·(n - 1) + 2

Answer 2

Die ersten 5 Partialsummen sind 2, 10, 34, 98, 258.

Diese Zahlen sind jeweils das Doppelte von

1, 5, 17, 49, 129.

Die letztgenannten Zahlen sind die Nachfolger von

0, 4, 16, 48, 128.

Ich hatte zunächst den Verdacht, dass da immer Zweierpotenzen rauskommen, aber 48 spielt da nicht mit, denn es ist 3*16.

0, 4, 16, 48, 128 ... lässt sich stattdessen schreiben als 

0*2, 1*4, 2*8, 3*16, 4*32, und nach dieser Gesetzmäßigkeit müsste dann 5*64=320 kommen.

Der Nachfolger ist 321, das Doppelte davon ist 642.

Testen wir, ob das passt: 6*(2hoch 6)=384, und 258+384 ist tatsächlich 642.

Das Doppelte vom Nachfolger von (k-1)*(2 hoch k) scheint also bis hier als Ergebnis zu passen und müsste noch durch vollst. Ind. allgemein nachgewiesen werden.