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Hallo.

Ich schaue mir gerade alte Klausuraufgaben zu Analysis II an. Eine lautet:

Auf dem Intervall (-1,1) gilt $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}=\frac{1}{1+x^2}, x \in (-1,1)$$.
Berechnen Sie einen geschlossenen Ausdruck für $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n nx^{2n}$$.

Das Beispiel kann ich nachvollziehen:
$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}=\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\frac{1}{1-(-x^2)}=\frac{1}{1+x^2}$$, das ist ja die geometrische Reihe, wie sie im Buche steht.

Für die Aufgabe habe ich folgendermaßen angefangen:
$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n nx^{2n}=\sum_{n=0}^\infty (-x)^{2n}n=\sum_{n=0}^\infty (-x^2)^n \cdot n$$

Nun wusste ich nicht, was ich mit dem Faktor n anstellen sollte. Schließlich habe ich meinen guten Freund Wolfram gefragt, der lieferte das Ergebnis $$\frac{x^2}{(x^2+1)^2}$$ also $$\frac{x^2}{(1-(-x^2))^2}$$, woraus ich schließe, dass der Faktor n in der Summe einen Faktor $$x^2$$ im geschlossenen Ausdruck bewirkt.

Nun zwei Fragen:

1. Sind meine Berechnungen richtig und nachvollziehbar?
2.  Hätte ich mir das mit dem Faktor n bzw. $$x^2$$ irgendwie (schnell) daraus herleiten können, oder ist das etwas, was man sich einfach merken sollte?

 und danke schon einmal
Lena
Avatar von
Tipp: Betrachte die Ableitung der geometrischen Reihe.
Ableitung der geometrischen Reihe:
$$\frac{1}{(1-q)^2}=\sum_{n=0}^\infty n\cdot q^{n-1}$$

Stimmt, die sieht ähnlicher aus. Es ist also $$\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n \cdot n=\sum_{n=0}^\infty\underset{q}{(-x^2)}^n \cdot n$$.

Nun muss ich noch das n zu einem n-1 machen, indem ich durch q teile:

$$\frac{1}{(-x)^2} \sum_{n=0}^\infty n\cdot {(-x^2)}^n = \sum_{n=0}^\infty n\cdot {(-x^2)}^{n-1} = \frac{1}{(-x)^2}\cdot\frac{1}{(1+x^2)^2}=\frac{(-x)^2}{(1+x^2)^2}$$

Vielen Dank für den Tipp!
Oh, und ich sehe gerade, dass ich in meinem Ursprungs-Post das Minuszeichen vor dem Ergebnis vergessen habe. Es sollte $$-\frac{x^2}{(x^2+1)^2}$$ heißen, das war ja nachher auch mein Ergebnis. Nocheinmal danke für die Hilfe :)



Lena

Waaa, bin ich gerade tüddelig. Ich muss natürlich mit (-x2) multiplizieren.

Also nocheinmal in Ruhe und ordentlich:

$$\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n\cdot n=(-x^2)\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^{n-1}\cdot n=(-x^2)\cdot\frac{1}{(1-(-x^2))^2}=-\frac{-x^2}{(1+x^2)^2}$$


Und nun hoffe ich, dass ich mich nicht schon wieder irgendwo verdödelt habe :) Entschuldigt bitte.

Du kannst jetzt noch die beiden Minuszeichen weglassen.
Ohweia. Das eine Minuszeichen ist zuviel, glaube ich. Ich konnte mich nicht entscheiden, ob ich es vor den Bruch oder vor den Zähler schreibe. Ich denke, da soll nur eines sein: $$-\frac{x^2}{(1+x^2)^2}$$. So ist es hoffentlich endlich richtig... sowas sollte mir in der Klausur lieber nicht passieren.

Es war - (-x2)/(1 +x2)2

Setzen wir mal eine 1 ein und schauen mal:

- (-12)/(1 +12)2 =  -(-1)/(1 +1)2 = 1/4

Du hast zum Schluss als Ergebnis angegeben:

- (x2)/(1 +x2)2

Setzen wir auch hier  mal eine 1 ein und schauen mal:

- (12)/(1 + 12)2 = -1/4

Hm, da scheint wohl was nicht zu stimmen....

Richtig ist es: - (-x2)/(1 +x2)2 = (x2)/(1 +x2)2 , denn ein Minus vor dem Bruchstrich kehrt das Vorzeichen entweder im Zähler (wie hier) oder im Nenner um.

Möchte jemand der Kommentierenden oder der Fragesteller den Kommentar  noch als Antwort eingeben, damit die Frage nicht mehr bei den offenen Fragen erscheint?

1 Antwort

0 Daumen
Hi,

$$\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n\cdot n=(-x^2)\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^{n-1}\cdot n=(-x^2)\cdot\frac{1}{(1-(-x^2))^2}=\frac{x^2}{(1+x^2)^2}$$

So, jetzt steht sie nicht mehr als offene Frage da, Lu :)
Avatar von 4,8 k
Allerdings falsch beantwortet.
Ich hAbe das hingeschrieben, was in Kommentaren war. Und das sollte ich hinschreiben also jemand.

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Gefragt 1 Nov 2015 von Gast

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