Beweisen Sie folgende Implikation: ( ∀x ∈ ℝ : 0 ≤ ax + bx2 ) ⇒ ( b ≥ 0 ∧ a = 0 )

Question

Seien a, b beliebige reelle Zahlen. Beweisen Sie folgende Implikation:

( ∀x ∈ ℝ : 0 ≤ ax + bx² ) ⇒ ( b ≥ 0 ∧  a = 0 )

Answer 1

Die Funktion f(x) = ax + bx² ist auf ganz ℝ stetig. Vorzeichenwechsel können deshalb nur an Nullstellen eintreten.

∀x ∈ ℝ: 0 ≤ ax + bx²

Das heißt insbesondere, f hat keinen Vorzeichenwechsel.

Allerdings hat f Nullstellen. Bestimme diese und stelle notwendige Bedingungen dafür auf, dass dort kein Vorzeichenwechsel eintritt.