Zeige, dass die Abbildung g: ℕxℕ ∋ (k,l) ↦2k3l ∈ ℕ injektiv ist und nicht surjektiv

Question

Zeigen sie, dass die Abbildung injektiv und nicht surjektiv ist:

g: ℕxℕ ∋ (k,l) ↦2^k3^l ∈ ℕ

Answer 1

Injektivität: Jedes Element der Zielmenge wird höchstens einmal als Funktionswert angenommen.

Aus der Zielmenge kann man jedes Element über die Primfaktorzerlegung zerlegen. Zu jeder Zahl n gibt es eine eindeutige Primzahlzerlegung. So kann ich zu jedem Funktionswert die Werte k und l ermitteln. Damit ist die Funktion Injektiv.

Surjektivität: Jedes element der Zielmenge wird mind. einmal als Funktionswert angenommen.

Der Wert 5 wird nie als Funktionswert angenommen weil sich 5 nicht darstellen lässt als 2^{k}3^{l}.

Comments

und woher wissen sie das mit 5?

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5 besteht aus der Primzahl 5. Und diese Zahl kann man nie als Produkt der Primzahlen 2 und 3 schreiben.

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können sie mir vorführen wie genau ich den Term in Primarfaktoren zerlegen kann?

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Naja.

125 lautet in Primfaktorzerlegung 5^3

576 lautet in Primfaktorzerlegung 2^6 · 3^2

576 läßt sich daher in der Form 2^{k}3^{l} darstellen, 125 jedoch nicht.

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aber 4 kann man auch nicht als Produkt der Primzahlen 2 und 3 schreiben oder`?

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4 = 2^2 * 3^0

Frage wäre nur, ob bei euch 0 zu N gehört.