Zeigen Sie, dass eine lineare Abbildung L: X → Y injektiv ist genau dann, wenn L surjektiv ist.

Question

Aufgabe:Seien X, Y Vektorräume mit dim(X) = dim(Y). Zeigen Sie, dass eine lineare Abbildung L: X → Y injektiv ist genau dann, wenn L surjektiv ist.

Problem/Ansatz: Könnte mir jemand eventuell helfen und sagen was ich machen muss. Wie kann ich das zeigen?

Vielen Dank im voraus.

Answer 1

Verwende  f injektiv <=> Kern (f) = {0}  <=>  dim Kern (f) = 0

und   f surjektiv <=>  Bild(f) = Y <=>  dim Bild (f) =  dim(Y)

und den Dimensionssatz.