Question

Zeigen Sie, dass für jedes n ∈ ℕ und eine Konstante C > 0

Γ(n + 1/2) = C ((2n)!)/2²ⁿn!

Answer 1

Beweis per Induktion über n.
Für n=0 gilt die Behauptung mit C=Γ(1/2).
Falls die Aussage für ein n∈ℕ gilt, dann
Γ(n+1+1/2)=(n+1/2)·Γ(n+1/2)
=(n+1/2)·(2n)!/(n!·2²ⁿ)·C=...=
=(2n+2)!/((n+1)!·2²ⁿ⁺²)·C.