Beim Betreten eines Bäckerladens sei mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{4}\) kein anderer Kunde anwesend, sodass Sie sofort bedient werden. Sind jedoch bereits andere Kunden vor Ort, sei die Wartezeit gemäß der Dichtefunktion \(f(x)=\frac{3}{4} \lambda e^{-\lambda x},x\in(0,\infty),\lambda > 0\) verteilt.
a) Beschreiben Sie den zu gehörigen Wahrscheinlichkeitsraum \((\Sigma,\varepsilon,P)\):Geben Sie für die Werte der betrachteten Wartezeit eine geeignete Grundmenge \(\Sigma\) an, wählen Sie eine passenden \(\sigma\)-Algebra und definieren Sie ein Wahrscheinlichkeitsmaß \(P\), das de oben beschriebenen Eigenschaften erfüllt.
b) Bestimmen Sie die entsprechende Verteilungsfunktion.
c) Berechnen Sie für \(\lambda = 0.2\) die Wahrscheinlichkeit, dass Sie maximal fünf Minuten warten müssen.
