Integration über Normalbereiche

Question

Hi ich habe Probleme beim Lösen folgender Aufgabe. Das beginnt bereits beim Verständnis davon, was zu tun (zu Rechnen) ist.

Man soll das Integral    \( \int\limits_{B}^{} \) f dF     für f: B → ℝ berechnen, wobei f und B gegeben sind durch:

a) f(x,y):= \( \frac{-2y}{(3+y^2)^2} \) und B ist die obere Hälfte des Einheitskreises.

Ich habe versucht mir vorzustellen, wie die Funktion aussieht, und wie sie von einer Hälfte des Einheitskreises beschnitten werden könnte.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+f(x,y)%3D(-2y)%2F((3%2By%5E2)%5E2)

Nur mit der Hälfte des Einheitskreises habe ich Probleme. Diese ist doch genauso zweidimensional, wie die Funktion, oder?

Wie muss man nun weiter vorgehen um diese Aufgabe zu lösen?

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Mittlerweile habe ich verstanden, was bei dieser Aufgabe das Gebiet, was die Funktion ist und wie man auf das Doppelintegral kommt. Nun habe ich zwei konkrete Fragen:

1.: Wie bildet man den Halbkreis in einer Funktion ab? (braucht man ja für die Integrationsgrenzen des Doppelintegrals)

2.: Woher kommt das dF des Integrals, wenn man doch über das Gebiet B integriert?

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Am besten, Du faengst mit dem Anfang an. Der besteht immer aus einer Skizze des Integrationsbereichs B. Danach ist die Frage zu klaeren, ob ein Normalbereich vorliegt. Und wenn ja, ist eine Darstellung von B als Normalbereich explizit hinzuschreiben.

Answer 1

Hallo

 der obere Einheitskreis wird durch x^2+y^2<=1 und y>0 beschrieben oder parametrisiert: x=r*cos(t), y=r*sin(t) r von 0 bis 1, t von 0 bis π

 dF wird oft als dA also Flächenelement geschrieben dF=dx*dy oder InPolarkoordinaten dr*rdt

ob man hie besser in Polarkoordinaten oder kartesischen rechnet seh ich grade nicht.

Gruß lul

Comments

Okay danke für die Tipps! Ich komme dann auf folgendes Doppelintegral:

\( \int\limits_{0}^{(x^2+y^2≤1)} \) \( \int\limits_{-1}^{1} \) -\( \frac{2y}{(3+y^2)^2} \) dx dy

Passt das soweit ?

Woher weiß man, ob man zuerst nach x oder zuerst nach y integrieren muss?

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Hallo

 die Reihenfolge kann man sich aussuchen, aber so wie du die Grenzen schreibst ist es falsch, das innere Integral geht von -1 bis √(1-y^2) wenn du zuerst über x integrierst,  und dann für y von 0 bis 1 das äussere.

überlege selbst wie es umgekehrt ist.

Gruß lul