Wie bekomme ich den Hochpunkt und den Tiefpunkt heraus? f(x)= -3x^3 + 6x^2 +15x - 18

Question

! :)

ich bräuchte mal schnell eure hilfe. Also ich habe folgendes schon aus gerechnet:

f'(x)= -9x² +12x+15    |:(-9)

0 = x² - 4/3x - 5/3

dann habe ich die p-q-formel angewendet

und heraus kam für x₁= 2,12 und x₂= -0,786


dann habe ich die ergebnisse jeweils in die 2. ableitung eingesetzt um heraus zu finden wo das minimum liegt und wo das maximum

aber wie bekomme ich jetzt den genauen Punkt heraus?
Muss ich irgendwo noch einsetzten oder so?

Ich bedanke mich schon einmal recht herzlich für eure aufmerksamkeit und vielleicht auch eure hilfe :)

PS: Die orginalfunktion lautet f(x)= -3x³ + 6x² +15x - 18
 

Answer 1

 

x₁ und x₂ hast Du ja schon gefunden. 

Jetzt musst Du diese beiden Werte noch in die Ursprungsfunktion einsetzen, um die entsprechenden y-Werte zu finden: 

f(2,12) = -3 * (2,12)³ + 6 * (2,12)² + 15 * 2,12 - 18 = 12,182016

f(-0,786) = -3 * (-0,786)³ + 6 * (-0,786)² + 15 * (-0,786) - 18 = -24,626461032

Du hast also ein Maximum an (2,12|12,182016) und ein Minimum an (-0,786|-24,626461032)

Besten Gruß

Answer 2

Um den Punkt heraus zu bekommen brauchst du ja nur noch die y-Koordinate. Die bekommst du durch einsetzen in die Funktionsgleichung.

f(x) = -3·x^3 + 6·x^2 + 15·x - 18
f'(x) = -9·x^2 + 12·x + 15
f''(x) = 12 - 18·x

Extremstellen f'(x) = 0

- 9·x^2 + 12·x + 15 = 0
x = 2/3 ± √19/3 (x = 2.119632981 ∨ x = -0.7862996478)

f(-0.7862996478) = -24.62646220
f''(-0.7862996478) > 0 --> Tiefpunkt

f(2.119632981) = 12.18201776
f''(2.119632981) < 0 --> Hochpunkt