Vereinfachung und Berechnung von Termen: 1/(x-1) - (1+x)/(x^2 -1) für x≠1

Question

Aufgaben:

a) \( \frac{1}{x-1}-\frac{1+x}{x^{2}-1} \quad \) für \( x \neq 1 \)

b) \( \frac{(a+2 b)^{2}-8 a b}{a-2 b} \quad \) für \( a \neq 2 b \)

c) \( \frac{2 x-3}{2 x+3}-\frac{2 x+3}{2 x-3}+\frac{36}{4 x^{2}-9} \quad \) für \( x \in \mathbb{R} \backslash \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) \)

d) \( \frac{\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}-2}{\frac{x^{2}-y^{2}}{3 y}} \) für \( x, y \neq 0 \) mit \( x \neq \pm y \)

Kann das jemand ausführlich berechnen, damit man es nachvollziehen kann?

Answer 1

Hi Nana, 

 

a)

1/(x-1) - (1+x)/(x²-1) | 3. Binomische Formel (x+1)*(x-1) = x²-1²

1*(x+1)/(x²-1) - (1+x)/(x²-1)

(x+1-1-x)/(x²-1) =

0/(x²-1) =

0

 

b)

[(a+2b)²-8ab]/(a-2b) =

(a²+4ab+4b²-8ab)/(a-2b) =

(a²-4ab+4b²)/(a-2b) | 2. Binomische Formel (a-2b)² = a²-4ab+4b²

(a-2b)²/(a-2b) =

a-2b

 

c)

Auch hier hast Du die 3. Binomische Formel: 

(2x+3)*(2x-3) = 4x² - 9

Probier es bitte mal selbst :-)

 

d)

folgt, falls es kein anderer beantwortet, in einem Kommentar.

 

Besten Gruß

Comments

d)

Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert; also ergibt sich: 

{3y * [(x² + y²)/(xy) -2)]} / (x²-y²)

Etwas Besseres fällt mir dazu auch nicht ein :-(

Siehe: 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28x%5E2%2By%5E2%29%2F%28xy%29-2%29%2F%28%28x%5E2-y%5E2%29%2F%283y%29%29

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Da geht noch mehr ;)

Bringe in der eckigen Klammer alles auf einen Nenner. Man sollte dann den zweiten Binomi erkennen. Man kann dann locker mit x^2-y^2 (dritter Binomi) kürzen.

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@ Unknown: 

Wow - danke für den Hinweis!

 

{3y * [(x² + y²)/(xy) -2xy/(xy)]} / (x² - y²) =

{3y * [(x - y)² / (xy)]} / (x² - y²) = 

{3y * [(x - y)² / (xy)]} / [(x + y)*(x - y)] = 

{3y * [(x - y) / (xy)]} / (x + y) =

{3 * [(x - y) / x]} / (x + y) =

3 * (x - y) / [x * (x + y)]

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danke dir zunächst für die Antwort.

Komme bei Aufgabenteil c leider nicht weiter

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@ Nana:

Gern geschehen :-)

 

Das Vorgehen ist bei c) ziemlich gleich zu dem aus a) und b):

(2x - 3)/(2x + 3) - (2x + 3)/(2x - 3) + 36/(4x² - 9) | alles auf einen Nenner bringen: 

(2x - 3)*(2x - 3)/(4x² - 9) - (2x + 3)*(2x + 3)/(4x² - 9) + 36/(4x² - 9)

Betrachten wir jetzt nur den Zähler: 

(2x - 3)² - (2x + 3)² + 36 = 

4x² - 12x + 9 - 4x² - 12x - 9 + 36 =

-24x + 36

 

Der Term hat sich also reduziert auf

(-24x + 36)/(4x² - 9) =

(-24x + 36)/[(2x + 3)*(2x - 3)] =

-12*(2x - 3)/[(2x + 3)*(2x - 3)] =

-12 / (2x + 3)