Zeige: Relation ∼f auf X definiert durch x ∼f y ist genau dann Äquivalenzrelation, wenn f(x) ∼ f(y) eine ist.

Question

Sei f : X → Y eine Abbildung.
(a) Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf Y . Zeigen Sie: Die Relation ∼f auf X definiert durch
x ∼f y genau dann, wenn f(x) ∼ f(y) ist eine Äquivalenzrelation. Wie sieht ∼f aus,
wenn ∼ die Gleichheits- bzw. die Allrelation ist?
(b) Sei ∼ eine Relation auf X und f surjektiv. Illustrieren Sie anhand eines Beispiels, dass
folgende “Definition” einer Relation ≈ auf Y sinnlos sein kann: f(x) ≈ f(y) genau fur ¨
x ∼ y.

Bitte um Hilfe, die Aufgabe verstehe ich nicht :(. Bzw. Finde ich keinen Ansatz

Answer 1

Müssen derzeit die gleiche Aufgabe lösen. Unser Übungsleiter hat uns heute folgenden Lösungshinweis geliefert:

gegeben: ∼ ist Äquivalenzrelation auf Y, f: X→Y

d.h. ∀ y1,y1 ∈ Y muss gelten: (1) y1 ∼ y1 (2) y1∼y2 → y2∼y1 (3) y1∼y2, y2∼y3 → y1∼y3

zu zeigen: ∼f ist Äquivalenzrelation auf X

reflexiv: ∀ x ∈ X: f(x) ∈ Y → f(x) ∼ f(y) per Definition gilt also auch → x∼f x

Schätze um die Symmetrie und Transitivität zu zeigen, macht man es ähnlich. Ob dies jedoch dann richtig ist kann ich dir nicht sagen.