Zeigen Sie, dass durch f ∼ g :⇔ f(m) = g(m) eine Äquivalenzrelation auf der Menge Abb(Z, Z) definiert wird.

Question

Seien m und n zwei verschiedene ganze Zahlen.
(i) Zeigen Sie, dass durch f ∼ g :⇔ f(m) = g(m) eine Äquivalenzrelation auf der Menge
Abb(Z, Z) definiert wird.
(ii) Ist dies immernoch der Fall, wenn wir die Relation f∼ˆ g :⇔ f(m) = g(n) anstelle der
Relation ∼ betrachten?

Answer 1

Reflexivität. Sei \(f\in \operatorname{Abb}(\mathbb{Z}, \mathbb{Z})\). Dann ist \(f(m) = f(m)\), also \(f\sim f\).

Symmetrie. Seien \(f,g\in \operatorname{Abb}(\mathbb{Z}, \mathbb{Z})\) mit \(f\sim g\). Dann ist \(f(m) = g(m)\) und somit auch \(g(m) = f(m)\), also \(g\sim f\).

Transitivität. Seien \(f,g,h\in \operatorname{Abb}(\mathbb{Z}, \mathbb{Z})\) mit \(f\sim g\) und \(g\sim h\). Dann ist \(f(m) = g(m)\) und \(g(m) = h(m)\) somit auch \(f(m) = h(m)\), also \(f\sim h\).

Die Relation \(\sim\hat{}\) ist keine Äquivalenzrelation, weil \(f\sim\hat{}f\) mit \(f(x) = x\) aufgrund der Injektivität von \(f\) nicht gilt.