Man zeige, dass ∼ genau dann eine Äquivalenzrelation auf M ist, wenn ∼ reflexiv und euklidisch ist.

Question

Aufgabe:

Eine Relation ∼ auf einer Menge M heißt euklidisch, wenn ∀x,y,z∈M gilt:(x∼z und y∼z)⇒x∼y.
Man zeige, dass ∼ genau dann eine Äquivalenzrelation auf M ist, wenn ∼ reflexiv und euklidisch ist.

Hallo Leute

Ich komme leider mit dem Beweis eser Aufgabe nicht klar. Würde mich sehr freuen wenn ihr mir ein Beweis dafür zeigen könntet.

Danke im Voraus

Answer 1

~ Äquivalenzrelation auf M

==> ~ reflexiv und symmetrisch und transitiv

Also ist reflexiv erfüllt.

Sind nun (x,z)  ∈ ~ und (y,z) ∈ ~

Dann folgt wegen der Symmetrie auch (z,y)∈~

also gilt (x,z) ∈ ~  und (z,y) ∈ ~

und wegen "transitiv" dann (x,y)∈ ~.

Also ist ~ euklidisch.

Sei umgekehrt ~ reflexiv und euklidisch,

dann ist zu zeigen

reflexiv , symmetrisch und transitiv.

Sei (x,y)  ∈ ~ , wegen reflexiv auch (y,y)  ∈ ~

also wegen euklid. (x,y)  ∈ ~.

Also ist ~ symmetrisch.

Seien   (x,z) ∈ ~  und (z,y) ∈ ~

wegen symmetrisch also auch

(x,z) ∈ ~  und (y,z) ∈ ~

wegen euklid. also   (x,y) ∈ ~

Also  ~ auch transitiv.