Injektivität und Surjektivität bei 3. g ◦ f : N → N mit f, g wie definiert in Teil 1) und 2) ?

Question

Hallo ich muss sagen ob folgende Funktionen injektiv und/oder surjektiv, bijektiv sind habe 1) und 2) aber verstehe 3) und 4) nicht so ganz kann mir jemand sagen ob die Injektiv oder Surjektiv sind und warum;

1) f : N → Z mit f(x) = (−1)^x*x 

Ist injektiv aber nicht surjektiv


2. g : Z → N mit g(x) = |x|

ist surjektiv aber nicht injektiv

3. g ◦ f : N → N mit f, g wie definiert in Teil 1) und 2).
4. f ◦ g : Z → Z mit f, g wie definiert in Teil 1) und 2).

Answer 1

(gof)(x) = g(f(x) = g( (-1)^x * x ) = |  (-1)^x * x  | = | x |

und weil das von N nach N geht, kannst du den Betrag weglassen,

gof ist also die Identität, also bijektiv.

(fog)(x) = f( |x| ) = (-1) ^{|x|} * |x|

also ist etwa (fog)(1) = -1  und (fog)(2) = 2

und (fog)(3) = - 3   etc.   also sicher nicht surjektiv,

weil z.B.  -2 als Funktionswert nicht vorkommt.

Injektiv ist es aber doch.

Answer 2

Hallo

1 und 2 sind richtig, 3 und 4 schreib einfach mal die Funktion g(f)=|(-1)^x*x | hin dann kannst du es ebenso wie f(g)=(-1)^{|x|}*|x|

Gruß lul