Ich bräuchte euere Hilfe um meine Hausaufgabe zu überprüfen bzw. bei einigen Teilaufgaben Ansätze.
Ich habe folgende funktion definiert:
$$\text{Sei }M:= \mathbb{R} \setminus (2) \text{ und sei} f:M\rightarrow \mathbb{R} \text{ durch} \\ f(x):=\frac{2x+5}{x-2} $$
Die aufgaben lauten:
a) Untersuchen Sie, ob die Abbildung f injektiv ist
b) Zeigen Sie, dass der Wertebereich f(M) von f die Menge M ist.
c) Berechnen Sie f kringel f(x) für alle x aus M
d) $$\text{Bestimmen Sie }f^{-1}(C), wobei C := (a \in \mathbb{R} : a \leq 1)$$
$$\\ \text{Ich versuche erstmal nach x umzuformen:} \\ y=\frac{2x+5}{x-2} |*(x-2) \\y(x-2)=2x+5 \\yx-2y-5=2x \\-2y-5=2x-yx \\-2y-5=x(2-y) \\ \frac{-2y-5}{2-y}=x$$
a) da pro x ein y existiert ist die Abbildung injektiv.
b) Soll ich zeigen, dass die Abbildung ohne dem Wertebereich nicht surjektiv wäre, d.h nicht in der Menge liegen würde?
c) Ist das Ergebnis etwa folgendes?
$$f \circ f(x)=f(f(x)) \\ = f(\frac{2x+5}{x-2}) \\ = \frac{2\frac{(2x+5)}{x-2}+5}{\frac{2x+5}{x-2}-2} \\ = \frac{\frac{4x+10}{x-2}+5}{\frac{2x+5}{x-2}-2} $$
d) Soll ich hier einfach die Inverse die ich berechnet angeben?
$$\frac{-2y-5}{2-y}=x$$
Oder muss ich komplett was anderes machen?
