Beweisen Sie, dass die Komposition zweier injektiver Funktionen injektiv ist.

Question

Aufgabe: Beweisen Sie, dass die Komposition zweier injektiver Funktionen injektiv ist.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor?

Answer 1

Seien \(f\) und \(g\) injektiv. Dann gilt:

\((f\circ g)(x_1)= (f\circ g)(x_2)\Rightarrow f(g(x_1))=f(g(x_2))\Rightarrow \)

\(g(x_1)=g(x_2)\), da \(f\) injektiv ist, usw....

Comments

Wie geht es dann weiter? ...da f injektiv ist, und da g injektiv ist, gilt: x1 = x2. q.e.d.

Und man ist fertig?

Ich versuche den selben Beweis jetzt mal für Surjektivität.

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Ja, genau ! Viel Spaß bei der Surjektivität ;-)

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Für die Surjektivität gilt folgendes:

Seien f und g als surjektiv vorausgesetzt und h: = g ο f.

Sei ein Element y ∈ C vorausgesetzt mit f(x) = y.

Zu zeigen: ∃x ∈ A mit h(x) = y.

Da g surjektiv, gibt es ∃y₂ ∈ B mit g(y₂) = y.

Da f surjektiv, gibt es ∃x ∈ A mit f(x) = y₂.

Es folgt: h(x) = g(f(x)) = g(y₂) = y.

q.e.d.

Ist das so richtig? Das ist etwas verwirrender, als die Injektivität zu zeigen.

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Das sieht sehr gut aus :-)