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keine sind linear abhängig da k nicht gleich ist beim auflösen

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Hallo Chingo,

Antwort korrigiert

ich habe die drei Vektoren einfach mal im Geoknecht3D eingegeben und die sehen ziemlich abhängig aus.

Skizze7.png  

klick auf das Bild und rotiere die Szene mit der Maus. Es hat den Anschein, als ob die drei Vektoren in einer Ebene liegen und folglich linear abhängig sind. Das überprüfe ich nun rechnerisch. Sind sie linear abhängig, so muss es zwei Werte \(r\) und \(s\) geben, die folgende Gleichung erfüllen:

$$\vec{a} \cdot r + \vec{b} \cdot s = \vec{c}$$ bzw. mit Zahlen $$\begin{pmatrix} 12\\4 \\ \cancel{20} 10 \end{pmatrix} \cdot r + \begin{pmatrix} 5\\8 \\ 12 \end{pmatrix} \cdot s = \begin{pmatrix} 16\\-20 \\ \colorbox{#ffff44}{-18} \end{pmatrix}$$ aus den ersten beiden Zeilen berechne ich \(r\) und \(s\) $$\begin{array}{cc|c} 12 & 5 & 16 \\ 4 & 8 & -20\end{array} \\ \begin{array}{cc|c} 0 & -19 & 76 \\ 4 & 8 & -20\end{array} \\ \implies s= -\frac{76}{19} = -4 \\ 4r - 8 \cdot 4 = -20 \\ \implies r = 3 \\$$ Einsetzen des Ergebnis in die dritte Zeile $$10 \cdot 3 + 12 \cdot (-4) = \colorbox{#ffff44}{-18} \quad \text{(s.o.)}$$ d.h. die drei Vektoren sind linear abhängig.

Gruß Werner

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danke werner....da hast du in der r spalte 3te zeile 20 statt 10 geschrieben ...

ich habe nochmal alles nachgerechnet es kommt -4 raus und -4 ist ungleich -18   deshalb linear unabhängig?

und wenn es jetzt -18 = -18 wäre dann linear abhängig und bei 18 = -18 wieder unabhängig?

...da hast du in der ersten Spalte 3'te Zeile 20 statt 10 geschrieben

Stimmt, das war falsch. Gut aufgepasst! Ich habe es korrigiert (s.o.).

Die Kunst der (Schul-)Mathematik liegt im Wesentlichen im richtigen Abschreiben

(Eigenzitat)


ich habe nochmal alles nachgerechnet es kommt -4 raus

Nein - es kommt -18 raus. \(10 \cdot 3 + 12 \cdot (-4) = 30 - 48 = -18\). Und das ist der gleiche Wert wie die Z-Koordinate im Vektor \(\vec{c}\). Und damit sind die Vektoren linear abhängig!

und wenn es jetzt -18 = -18 wäre dann linear abhängig ??

Ja

und bei 18 = -18 wieder unabhängig ??

wäre es dann - ja. Nicht gleich ist nicht gleich, auch wenn die Beträge übereinstimmen würde.

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