Beweis zur Matrizen Multiplikation mit der transponierten Matrix

Question

Ich soll folgendes beweisen: Seien A=\( \begin{pmatrix} a1 & a2 \\ a3 & a4 \end{pmatrix} \) und B=\( \begin{pmatrix} b1 & b2 \\ b3 & b4 \end{pmatrix} \).

Es gelte (x1 y1) A \( \begin{pmatrix} x2 \\ y2 \end{pmatrix} \) = (x1 y1) B \( \begin{pmatrix} x2 \\ y2 \end{pmatrix} \) für alle \( \begin{pmatrix} x1 \\ y1 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} x2 \\ y2 \end{pmatrix} \). Zeigen Sie, dass dann A=B gilt.

Als Hinweis wird mir gegeben, dass es reicht das für die kanonischen Basen zu zeigen.

Die kanonischen Basen sind ja einmal e1=\( \begin{pmatrix} 1\\ 0  \end{pmatrix} \) und e2=\( \begin{pmatrix} 0\\ 1  \end{pmatrix} \).

Jetzt bin ich mir jedoch unsicher wie ich das zeigen soll. Setze ich in die linke Seite für die Transponierte e1 und die normale Matrix e2 ein? Dann bekomme ich a2 raus... und dementsprechend auf der rechten Seite b2. Aber das sagt ja jetzt noch nicht dass A=B. Dafür müsste ich ja a1=b1, a2=b2, a3=b3 und a4=b4 rausbekommen... Probiere ich einfach alle Kombinationsmöglichkeiten der kanonischen Basis aus?

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!

Comments

Gibt es in der Aufgabe einen Schreibfehler? 

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Eigentlich nicht. Bei den Matrizen ist alles richtig.

Answer 1

Hallo Rosakatze,

Probiere ich einfach alle Kombinationsmöglichkeiten der kanonischen Basis aus?

Ja genau so! Der Gedankengang ist wie folgt. $$\vec{x_1} \cdot A \cdot \vec{x_2} = \vec{x_1} \cdot B \cdot \vec{x_2}$$ gilt genau dann für alle \(\vec{x_1}, \, \vec{x_2}\), wenn \(A=B\) ist. Wenn das stimmt, muss es auch für alle Kombinationen von \(\vec{e}_1, \, \vec{e}_2\) gelten, mit $$\vec{e}_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}, \quad \vec{e}_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}$$ Schreibt man $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} $$ so ist für alle \(i, k \in \{1,2\}\) $$\vec{e}_i \cdot A \cdot \vec{e}_k = a_{ik} \quad \text{und} \quad \vec{e}_i \cdot B \cdot \vec{e}_k = b_{ik}$$ Somit ist $$\vec{e}_i \cdot A \cdot \vec{e}_k = \vec{e}_i \cdot B \cdot \vec{e}_k \quad \forall i,k \in \{1,2\}$$ nur genau dann erfüllt, wenn $$a_{ik} = b_{ik} \quad \forall i,k \in \{1,2\}$$ und somit \(A=B\) ist.

Answer 2

Mit : X^T = (x1  y1) ;       y^T = (x2 y2)

(X^T A) y =  (X^T  B) y, somit

A^T x y     =  B^T x y    -> ausmultipliziert 

a1 x1 x2 + a2 y1 x2 + a3 x1 x2 + a4 y1 y2 = b1 x1 x2 + b2 y1 x2 + 

                                                                                 b3 x1 x2 + b4 y1 y2

Vergleich der Koeffizienten: a1=b1, a2=b2, a3=b3, a4=b4, somit A=B