Hallo,
zu f)
f ist nicht injektiv; denn $$f(-(z+1))=z^2+z+1=f(z)$$
zu g)
g ist nicht injektiv; denn für jede Norm ist $$\|z\|=\|-z\|$$
also $$g(z)=g(-z)$$
Gruß ermanus
Mathhilf hat richtig bemerkt, dass meine Aussage für g falsch ist.
Daher kommt hier die Korrektur:
g ist injektiv.
Wir betrachten den Ausdruck $$\|g(x)\|^2=\left\|\frac{x}{\sqrt{1-\|x\|^2}}\right\|^2=\frac{\|x\|^2}{1-\|x\|^2}=-1+\frac{1}{1-\|x\|^2}\quad(*)$$
Nun gilt $$g(x)=g(y)\Rightarrow\|g(x)\|^2=\|g(y)\|^2\quad(**)$$
Da die Funktion$$h(r)=-1+\frac{1}{1-r},\;0\leq r \lt 1$$
injektiv ist, folgt aus (*) und (**):$$\|x\|^2=\|y\|^2$$
und damit $$\frac{1}{\sqrt{1-\|x\|^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-\|y\|^2}}$$
Zusammen mit $$g(x)=g(y)$$ liefert das $$x=y.$$
