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Gegen ℝ Vektorräume W. Entscheide ob W ein Untervektorraum von ℝ2 ist. Bestimme die Basis, falls W ein Untervektorraum ist.

a) W = { (x, 0)| x ∈ ℝ } ⊂ R2
b) W = { (x, x)| x ∈ ℝ } ⊂ R2
c) W = { (x, y)| x2+y2=1 } ⊂ R2
d) W = { (x, y)| xy = 0 } ⊂ R2

Unsere Definition:
(SS1) W closed with respect to addition: a + b in W, a, b in W
(SS2) W closed with repsect to scalar multiplication ...
Von 0 Element muss enthalten sein, steht nichts.


a) und b) sind komplett verschiedene Räume und daher nicht möglich.
c) geht nicht, weil 0^2 + 0^2 = 1 falsch ist
d) 0 ist immer ein Untervektorraum, aber wie gebe ich die Basis an?

Stimmt das soweit?

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Du betrachtest hier den ℝ2. Dessen UVR sind doch anschaulich gesprochen einfach alle Ursprungsgeraden sowie der Nullraum und der ℝ2 selbst. Nimm dir doch jetzt einfach mal einen Stift und ein Papier. Zeichne dir die Mengen auf:

a und b sind also UVRs

c und d sind keine UVRs

Jetzt musst du das nur noch formal begründen.

Avatar von 6,0 k

Es leuchtet irgendwie schon ein. Aber R^2 ist ja kein UVR von R^3. Da dachte ich, das gleiche kann ich hier anwenden. Woran scheitert es bei d)?
Wie gibt man für a) b) eine Basis an?

R^2 ist tatsächlich kein UVR vom R^3, R^2 x {0} aber schon. Und nichts anders betrachtest du in der a) die Menge ist R x {0} und nicht R.

Für a) ist eine Basis ((1,0))

Für b) z.B. ((1,1))

Bei der c scheitert es an der Addition

(1,0) und (0,1) sind in der W 1*0=0=0*1. Aber die Summe (1,1) liegt nicht in W.

Vielen Dank für die Ausführung

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