zu b) Die periodische Folge { x1, x2, ...xn, x1, x2, ...xn, x1, x2, ...xn, ...} hat mit Sicherheit genau die geforderten Häufungspunkte.
zu c)
Wenn man aus (an) eine gegen a konvergierende Teilfolge auswählen kann, dann liegen ab einem bestimmten Index N alle Folgenglieder in einer vorgegebenen Epsilon- Umgebung.
Betrachtet man nun die Restfolge der bisher nicht ausgewählten Elemente, so kann man laut Voraussetzung auch aus ihr eine gegen a konvergente Teilfolge auswählen (deren Elemente wiederum ab einem bestimmten N in der oben genannten Epsilonumgebung liegen).
Aus den nun immer noch nicht ausgewählten Elementen kann man wieder eine konvergente Teilfolge...
Alle Teilfolgen haben dann die Eigenschaft, dass es in Ihnen ein N gibt, ab dem alle Glieder in einer vorgegebenen Epsilonumgebung von a liegen. Dieses N kann durchaus in den einzelnen Teilfolgen verschieden groß sein, aber unter diesen gibt es ein maximales N, das dann in allen Teilfolgen genügt.
