Lineare Algebra: Standardvektorraum, Primkörper, Vektoren

Question

Sei p > 0 eine Primzahl und n ≥ 0. Wir betrachten den Standardvektorraum
V = Kⁿ⁺¹ uber dem endlichen Primkörper K = F_p. .
(i) Verifizieren Sie, dass es p − 1 nicht-verschwindende Skalare λ ∈ K und
pⁿ⁺¹ − 1 nicht-verschwindende Vektoren a ∈ V gibt.
(ii) Schließen Sie, dass es pⁿ + pⁿ⁻¹ + . . . + p + 1  Geraden L ⊂ V gibt, also Untervektorräume der Form L = Ka mit a ≠ 0

Leute :)

Answer 1

HHU Lineare Algebra?

für (i): jedes Skalar ist ja element von K und da es in K p verschiedene Elemente gibt kann es generell p verschiedene skalare geben. Das "nicht-verschwindend" habe ich auf die nicht-neutralität gedeutet (also alles außer das Einselement). Wenn man das Einselement rausnimmt, bleiben p-1 skalare.

jeder Vektor hat n+1 Einträge (aus der Aufgabenstellung: V=K^n+1) und jeder Eintrag kann zu jedem element aus K werden --> fur jeden Eintrag gibt es p verschiedene Optionen. Mit Kombinatorik kommt man auf p^{n+1} und wieder das gleiche mit dem "nicht-verschwindend" deswegen p^{n+1} -1.

die (ii) hab ich noch keine Ahnung, lass mich gerne wissen wenn du etwas hast