Kombinatorik - 4 Kugelarten / unterschiedl. Gewicht und Preis / für 100 € genau 100 Kugeln mit genau 500g Gewicht

Question

Ein Spielwarengeschäft führt vier Sorten bunter Glaskugeln: 1g - 40 ct / 4g - 90ct / 8g - 120ct und 10g - 180ct. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die verschiedenfarbigen Kugeln zu kombinieren, um für 100€ genau 100 Kugeln zu kaufen, die genau 500g wiegen.

Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar, um ein Ergebnis mit mathematischer Begründung zu finden.

Vielen Dank schon einmal im Voraus.

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Unnötiger Kommentar!

g = Gramm

Answer 1

1·a + 4·b + 8·c + 10·d = 500
a + b + c + d = 100
0.4·a + 0.9·b + 1.2·c + 1.8·d = 100

a = 2·(9·d - 50)/11 ∧ b = 2·(500 - 13·d)/11 ∧ c = (200 - 3·d)/11

a,b,c und d müssen jetzt ganzzahlig sein.

Ich komme so auf 3 mögliche Lösungen.

[4,72,16,8] ; [22,46,13,19] ; [40,20,10,30]

Comments

Super!

Lediglich der Schritt vom Anfang zur 4. Zeile ist für mich noch nicht nachvollziehbar.

Wie komme ich z. B. für a (also 1g und 40ct - die leichteste und billigste Kugel) auf a = 2·(9·d - 50)/11?

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Löse das lineare Gleichungssystem mit dem Gauss-Verfahren.

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Ich habe mit dem Gauß-Verfahren noch nie gearbeitet. Nachdem was ich eben nachgeschlagen habe müsste ich eine Matrix erstellen und nach einem System die

drei Bedingungen anordnen, das ich noch nicht ansatzweise erkenne.

Gäbe es vielleicht noch irgendeine Möglichkeit den Übergang zur vierten Zeile zu verstehen, ohne mich zuvor komplett in die Matix-Rechnung einzuarbeiten?

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Das Gauss-Verfahren ist im Grunde genommen nur das Additionsverfahren. Das brauchst man nicht als Matrix aufschreiben.

1·a + 4·b + 8·c + 10·d = 500
a + b + c + d = 100
0.4·a + 0.9·b + 1.2·c + 1.8·d = 100

II - I ; 10*III - 4*I

- 3·b - 7·c - 9·d = -400
- 7·b - 20·c - 22·d = -1000

3*II - 7*I

- 11·c - 3·d = -200 --> c = (200 - 3·d)/11

Da sowohl c als auch d ganzzahlig sein müssen braucht man hier auch nur die diophantische Gleichung 11·c + 3·d = 200 lösen.

Ich erhalte

[c, d] = [1 + 3t, 63 - 11t]

Man erhält die 5 Lösungen

[1, 63;
4, 52;
7, 41;
10, 30;
13, 19;
16, 8]

Das könnte ich in Obige Gleichung auch für c und d einsetzen und nach b auflösen.

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Super, bei mir ist der Groschen gefallen,

dass konnte ich jetzt nachvollziehen.

Vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast,

mein Sonntag ist jetzt gerettet.