''Der Modulo, der Modulo....'' Modulgleichung mit Potenzen

Question

''Der Modulo, der Modulo, der stimmt mich gar nicht froh...''

Finde zwei unterschiedliche Zahlen  $$z_{1}$$ und $$z_{2} \in \mathbb{Z}$$ mit Betrag $$z_{1}$$ < 11 und Betrag $$z_{2}$$, so dass gilt

$$4127^{10} = z_{i}$$ mod (11) mit i, 1 2

Ich weiß, dass a1^k dasselbe ist wie a2^k.

Aber 4127¹⁰ geteilt durch 11 ist doch 1,43333....

Heißt das, das Ergebnis ist 0, Rest 1?

Mit dem Satz von Euler bin ich nicht vertraut.

Answer 1

Es gilt

$$4127\equiv  2 \;mod \;11$$.

So gilt gilt auch

$$4127^{10}\equiv  2^{10} \equiv  1024 \equiv  1\;mod \;11$$.

Wegen $$1 \equiv  -10\;mod \;11$$ sind 1 und -10 die beiden gesuchten Zahlen mit einem Betrag <11.

Hinweis: Zur einfachen Restebestimmung mod 11 habe ich verwendet, dass jede ganze Zahl kongruent zu ihrer alternierenden Quersumme (mod 11) ist. Natürlich kann man auch 4127  und 1024 schriftlich durch 11 teilen und so den Rest bestimmen.

Comments

Wie kommst du auf 4127  =  2   mod (11)

Mod heißt doch, dass wenn man zwei Zahlen durch den mod teilt, sich der selbe Rest ergibt.

Bsp: 14 = 21 (mod 7)

Bei beiden Zahlen ergibt sich beim Teilen durch 7 derselbe Rest.

So! Jetzt zum Wesentlichen: 1024 geteilt durch 11 ist  1023, d.h Rest 1.

4127 geteilt durch 11 ist 375, d.h. 4125, Rest 2

Also ist 4127 doch nicht derrselbe Mod wie 1024. Ooder hab ich da ein brett vor'm Kopf

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"Also ist 4127 doch nicht derrselbe Mod wie 1024."

Habe ich nicht behauptet.

Ich habe geschrieben, das 4127 HOCH ZEHN den gleichen Rest lässt wie 1024.

4127 lässt den selben Rest wie 2,

deshalb lässt 4127 HOCH ZEHN  den selben Rest wie 2 HOCH ZEHN (bei Teilung durch 11).

Answer 2

Es ist 4127 = 375*11+2

also 4127 ≡   2   mod (11)

und damit ist 4127¹⁰  ≡  2¹⁰  mod (11)

und   1024   ≡  1 mod (11) weil 1024 = 93*11+1 .

Also ist etwa z1= 1  und z2 = -10 .