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Beweisen sie für alle x ∈ IR und n ∈ IN:


sin x = 2n cos \( \frac{x}{2} \) * cos \( \frac{x}{4} \) ... cos \( \frac{x}{2^n} \) * sin \( \frac{x}{2^n} \) .


Wie muss ich da vor gehen? Irgendwas mit Additionstheoreme ?

Und eventuell vollständige Induktion? Bin mir aber nicht sicher wie ich da anfangen soll. Hätte jetzt n = 0 gesetzt allerdings bin ich mir nicht sicher wie ich da genau vorgehen soll.

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2 Antworten

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"Irgendwas mit Additionstheoreme ?"

Selbstverständlich.

Nach Doppelwinkelformel ist

sin(x)=2*sin(x/2)*cos(x/2), und

sin(x/2) kannst du wiederum als

2*sin(x/4)*cos(x/4) schreiben, und

sin(x/4) als 2*sin(x/8)*cos(x/8)...

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Zu 100% hab ich die Folge noch nicht verstanden. Wenn ich 0 einsetze bekomme ich erstmal:

2*sin(x/2)*cos(x/2) =  cos \( \frac{x}{2} \) * cos \( \frac{x}{4} \) ...  cos x * sin x


Was genau besagt der erste teil der Folge?

2n cos \( \frac{x}{2} \) * cos \( \frac{x}{4} \) ...


Kann ich nicht gleich anstatt  cos \( \frac{x}{2} \) * cos \( \frac{x}{4} \) ... einfach  cos \( \frac{x}{2^n} \) ... schreiben??


Falls ich den ersten teil weglassen kann dann hätte ich es ja schon für n=0 bewiesen oder? Da die rechte Seite :2 der linken entspricht.

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Wie muss ich da vorgehen?

Du kannst es mit vollständiger Induktion versuchen.

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sin x = 20 cos \( \frac{x}{2} \) * cos \( \frac{x}{4} \) ... cos \( \frac{x}{2^0} \) * sin \( \frac{x}{2^0} \)

Beginne mit n=1.

(n=0 passt noch nicht)

Warum nicht?

@Spacko: sin(x) = cos(x) * sin(x) ?

Definition von ℕ im Skript von asdyx…?

sin(x) = 1·1·sin(x).

cos(x/2^0) = 1 (?)

Für n = 0 stellt cos(x/2)·cos(x/4)...cos(x/2n) ein leeres Produkt dar und hat den Wert 1.

Selbstverständlich und sin(x/2^0) ist kein leeres Produkt :)

Laut Skript ist die 0 in IN enthalten.

Dann brauchst du Spackos Interpretation von "leerem Produkt" und beginnst mit sin(x) = sin(x/1) .

Selbstverständlich kannst du n=1 auch noch einsetzen. Vgl. vorhandene Antwort.

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