fa(x)=(e^x-a)^2 Extrempunkte,Wendepunkte und Ortskurve

Question

Hallo ,

Ich habe mal wieder ein Problem mit einer Funktion und komme einfach nicht weiter.

fa(x)=(e^x-a)^2

Meine Ableitung:

f‘(x)=2e^x(e^x-a)

f“(x)=e^x(4e^x-2a)

f“‘(x)=e^x(8e^x2a)

Wie berechne ich nun die Extrempunkte?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Extrempunkte,Wendepunkte und Ortskurve berechnen

Stichworte: ortskurve,tiefpunkt,extrempunkte,wendepunkt

Hallo ,

Ich habe mal wieder ein Problem mit einer Funktion und komme einfach nicht weiter.

fa(x)=(e^x-a)^2

Meine Ableitung:

f‘(x)=2e^x(e^x-a)

f“(x)=e^x(4e^x-2a)

f“‘(x)=e^x(8e^x-2a)

Wie berechne ich nun die Extrempunkte?

Answer 1

Hallo

 da e^x nie 0 ist, muss die Klammer =0 seine Produkt=0 mindestens ein Faktor =0

Gruß lul

Comments

Ich bin immer noch einwenig irritiert also ist mein Ergebnis 0?

Answer 2

Hallo Amira,

Wie berechne ich nun die Extrempunkte?

f '(x) = 2· e^x · ( e^x - a)

f “(x) = e^x · (4e^x-2a)       sind richtig.  

f '''(x) = 8·e^2x - 2·a·e^x

wegen e^x > 0  für alle x∈ℝ gilt nach dem Nullproduktsatz für potentielle Extremstellen:

e^x - a  = 0  ⇔  e^x = a  ⇔  x = ln(a)

           (a ist wohl positiv vorausgesetzt!? Für a≤0 keine Extrempunkte! )

f " (ln(a))  =  2a² > 0  →  Minimalstelle 

f( ln(a) )  =  (e^ln(a) -  a)²  =  0     →   Tiefpunkte  T_a ( ln(a) |  0 )  

Deren Ortskurve ist die x-Achse.

Für die Wendestelle x_w  setzt du f "(x) = 0   und  prüfst ob f '''(x_w) ≠ 0 gilt

Gruß Wolfgang

Answer 3

Deine Ableitungen sind korrekt.

Extrempunkte berechnest du, indem du die Nullstellen der Ableitung berechnest, mit der zweiten Ableitung prüfst, ob dort Extremstellen sind und in die Ausgangsfunktion einsetzt um die y-Koordinate zu berechnen.