Kurvenschar: Ortskurve der Extrempunkte bestimmen: fa(x)=x-a²x³ (a>0)

Question

Gegeben: Die Kurvenschar fa(x)=x-a²x³ (a>0)



Auf welcher Kurve liegen alle extrema der funktionsschar.

nun zu allererst über die Ableitungen etc die Extremas bestimt

HP (1/3a Wurzel 3 / 2/9a Wurzel 3)

TP gleiche zahlen nur negatives vorzeichen



als ergebnis kommt jetzt aber folgendes:

YE1= 2/9a Wurzel 3 = 2/3 (1/3a Wurzel 3) =2/3 XE1

YE= 2/3 xe1



folglich liegen alle extremalpunkte der Schar auf einer Ursprungsgeraden mit der Steigung 2/3



^^ kann mir jemand mal das erklären ?????? ich kann dieses Beispiel aus meinem Buch überhaupt nicht nachvollziehen das mit den Hp und TP berechnungen verstehe ich noch wie man dann aber auf 2/3 kommt und wieso ?!??!??!!

Answer 1

fa(x) = x - a^2 * x^3

Extremstelle bei 

fa'(x) = 1 - 3 * a^2 * x^2 = 0

Damit bei x ein Extrema ist muss für a gelten:

1 - 3 * a^2 * x^2 = 0

a = ±√3/(3·x)

Das setzte ich in die Funktionsgleichung ein.

f(x) = x - a^2 * x^3 = x - (√3/(3·x))^2 * x^3 = 2/3·x

Auf dem Graphen liegen die Extrema

Skizze: