Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen bzgl. Zusammenhängend und Kompaktheit:

Question

$$(a)\text{ Ist }f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\text{ stetig und ist }A\subseteq\mathbb{R}\text{ zusammenhängend, so ist }f^{-1}(A)\text{ zusammenhängend.}\\ (b)\text{ Sind }A,B\subseteq\mathbb{R}^2\text{ zusammenhängend, so ist }A\cap B\text{ zusammenhängend.}\\ (c)\text{ Sind }A,B\subseteq\mathbb{R}^2\text{ zusammenhängend mit }A\cap B\ne\emptyset,\text{ so ist }A\cup B\text{ zusammenhängend.}\\ (d)\text{ Ist }f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\text{ stetig und ist }A\subseteq\mathbb{R}\text{ kompakt, so ist }f^{-1}(A)\text{ kompakt.}$$