Aktuell muss ich die kleinste Äquivalenzrelation bestimmen.
Mit dieser Bedingung:
$$ \text{Sei R} =\{ (1,8),(5,4),(2,2),(5,5),(3,10), (1,7),(7,6),(9,9),(10,4), (2,6) \} \subseteq \underline{10} \times \underline{10} \text{ eine Relation auf } \underline{10}\\ \text{Bestimme die kleinste Äquivalenzrelation } S \text{ auf } \underline{10} \text{ mit } R \subseteq S$$
Da für eine Äquivalenzrelation die Reflixivität, Symmetrie und die Transitivität gelten muss, folgt dass erst alle reflexiven Tupel in S sein müssen.
Heißt : $$ \{ (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9), (10, 10) \} $$
Dann müssen wir noch alle Elemente von R einfügen die nicht in S sind.
Heißt : $$ \{ (1,8), (8,1), (4, 5), (5,4), (3, 10), (10,3), (1, 7), (7, 1), (6, 7), (7, 6), (4, 10), (10, 4), (2, 6), (6, 2)\} $$
Und zum Schluss die Transitiven hinzufügen:
Heißt : $$ \{ (7, 8), (8, 7), (5, 10), (10, 5), (3, 4), (4, 3), (1, 6), (6, 1), (2, 7), (7, 2) \} $$
Also folgt daraus $$ S = \{\\ (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9), (10, 10)\\(1,8), (8,1), (4, 5), (5,4), (3, 10), (10,3), (1, 7), (7, 1), (6, 7), (7, 6), (4, 10), (10, 4), (2, 6), (6, 2)\\ (7, 8), (8, 7), (5, 10), (10, 5), (3, 4), (4, 3), (1, 6), (6, 1), (2, 7), (7, 2) \\ \}$$
Würde mich über eure Meinung über meine Idee freuen.
