Kleinste Äquivalenzrelation bestimmen

Question

Aktuell muss ich die kleinste Äquivalenzrelation bestimmen.

Mit dieser Bedingung:

$$\text{Sei R} =\{ (1,8),(5,4),(2,2),(5,5),(3,10), (1,7),(7,6),(9,9),(10,4), (2,6) \} \subseteq \underline{10} \times \underline{10} \text{ eine Relation auf } \underline{10}\\ \text{Bestimme die kleinste Äquivalenzrelation } S \text{ auf } \underline{10} \text{ mit } R \subseteq S$$

Da für eine Äquivalenzrelation die Reflixivität, Symmetrie und die Transitivität gelten muss, folgt dass erst alle reflexiven Tupel in S sein müssen.

Heißt : $$\{ (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9), (10, 10) \}$$

Dann müssen wir noch alle Elemente von R einfügen die nicht in S sind.

Heißt : $$\{ (1,8), (8,1), (4, 5), (5,4), (3, 10), (10,3), (1, 7), (7, 1), (6, 7), (7, 6), (4, 10), (10, 4), (2, 6), (6, 2)\}$$
Und zum Schluss die Transitiven hinzufügen:

Heißt : $$\{ (7, 8), (8, 7), (5, 10), (10, 5), (3, 4), (4, 3), (1, 6), (6, 1), (2, 7), (7, 2) \}$$

Also folgt daraus $$S = \{\\ (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9), (10, 10)\\(1,8), (8,1), (4, 5), (5,4), (3, 10), (10,3), (1, 7), (7, 1), (6, 7), (7, 6), (4, 10), (10, 4), (2, 6), (6, 2)\\ (7, 8), (8, 7), (5, 10), (10, 5), (3, 4), (4, 3), (1, 6), (6, 1), (2, 7), (7, 2) \\ \}$$

Würde mich über eure Meinung über meine Idee freuen.

Comments

Hallo

 die kleinste Relation in R oder in S? die Aufgabe ist unvollständig, (warum ist nicht (1,1) die kleinste Relation

Gruß lul

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Danke für den Hinweis, habe extra in den Titel Äquivalenzrelation geschrieben, es jedoch im Text vergessen.

$$\text{Man soll die kleinste Äquivalenzrelation } S \text{ auf } \underline{10} \text{ bestimmen mit } R \subseteq S$$

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Was meinst du mit "kleinste" Äquivalenzrelation?

Eine Äquivalenzrelation muss doch alle Elemente der gegebenen Menge in Klassen einteilen. Oder?

Hast du in deiner Fragestellung wirklich eine unterstrichene 10 ?

Answer 1

Eine Äquivalenzrelation muss doch alle Elemente der gegebenen Menge in Klassen einteilen.

Die Klassen, die ich bei deiner Relation S erkennen kann, sind
[ 1, 8, 9, 6, 2],  [3,4, 5,10] , [9]

Bei deinen "transitiven" fehlen in der Aufzählung z.B.  (8,6) und (6,8) . Hast du (3,5) und (5,3) ? ...

Comments

Die Aufgabe sieht genau so aus:

Habe auch die selben Äquivalenzklassen wie du, jedoch fehlten mir bei meiner oberen Lösung noch die von dir aufgezählten Elemente und noch 1-3 andere ( bin gerade am Handy und habe das Blatt nicht hier ), da ich vergessen habe nochmal die Transitiven Elemente hinzuzufügen nachdem ich die "ersten Transitiven" gebildet habe, da diese untereinander nochmal transitiv sein können.

Habe zu Schluss einfach die 10x10 Tabellte gemacht dann die Diagonale eingezeichnet und dann die Elemente aus R, dann das ganze an der Diagonalen gespiegelt, damit ich die Symmetrischen habe und dann die Transitiven manuel hinzugefügt.

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Gute Strategie. Das sollte dann passen.

Die unterstrichene 10 habe ich so noch nicht gesehen. Aber es scheint die Menge {1,2,3,... 10} zu sein.

Ausserdem bezieht sich "kleinste" vermutlich auf die Anzahl geordneten Paare in der Mengendarstellung, die du gemacht hat.