Menge { z ∈ ℂ : I (z-1)/(z+1) I = 2 } ist ein Kreis in der komplexen Ebene. r und M?

Question

Zeige, dass die Menge

((  z ∈ ℂ : I (z-1)/(z+1) I = 2  ))

ein Kreis  in der komplexen Ebene ist und bestimme Mittelpunkt und Radius.

-----------------------

I (z-1)/(z+1) I = 2  <=> I (z-1) I / I(z+1) I = 2  <=> Iz-1I = 2*Iz+1I <=> Iz-1I² = 4* Iz+1I²

<=> Ix-1 + iyI² = 4*Ix+1 + iyI² <=> (x-1)²+ y² = 4(x+1)² + 4y²

Nun weiss ich, dass ich das irgendwie in eine Kreisgleichung umformen muss, wie

(x-x₀)²+(y-y_{0)² = r²}

Wobei r der Radius des Kreises und (x₀,y₀) den Mittelpunkt des Kreises ist.

----------------------

Wie stelle ich mich nun an?

 

Lg Tulbih

Answer 1

Da muss man alles ausmultiplizieren, neu sortieren und dann die quadratische Ergänzung benutzen:

(x-1)²+ y² = 4(x+1)² + 4y²

x^2 -2x + 1 + y^2 = 4(x^2 + 2x + 1) + 4y^2

0= 3x^2 - 10x + 3 + 3y^2   |:3

0 = x^2 - 10/3 x + 1 + y^2

0 = x^2 - 10/3 x + (5/3)^2 - (5/3)^2 + 1 + y^2

(5/3)^2 - 1 = (x - 5/3)^2 + (y-0)^2 

25/9 - 9/9 = (x - 5/3)^2 + (y-0)^2 

16/9 = (x - 5/3)^2 + (y-0)^2 

r = 4/3, M(5/3  , 0)

vgl. auch: https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28x-1%29%5E2%2B+y%5E2+%3D+4%28x%2B1%29%5E2+%2B+4y%5E2