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Aufgabe:

Für die Minimal Residual Iteration gilt:

 $$r = b - A x \text { und } p = A r$$

\begin{array} { l } { \alpha \leftarrow ( p , r ) / ( p , p ) } \\ { x \leftarrow x + \alpha r } \\ { r \leftarrow r - \alpha p } \\ { p : = A r } \end{array}

Sei A pos. definitit und reale Matrix.

$$\mu = \lambda _ { \min } \left( A + A ^ { T } \right) / 2 , \quad \sigma = \| A \| _ { 2 }$$

Dann gilt:

$$\left\| r _ { k + 1 } \right\| _ { 2 } \leq \left( 1 - \frac { \mu ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \left\| r _ { k } \right\| _ { 2 }$$



Problem/Ansatz:

Im Beweis ist uns folgender Schritt nicht ganz klar:

\begin{aligned} & = \left\| r _ { k } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \left( A r _ { k } , r _ { k } \right) } { \left( r _ { k } , r _ { k } \right) } \frac { \left( A r _ { k } , r _ { k } \right) } { \left( A r _ { k } , A r _ { k } \right) } \right) \\ & = \left\| r _ { k } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \left( A r _ { k } , r _ { k } \right) ^ { 2 } } { \left( r _ { k } , r _ { k } \right) ^ { 2 } } \frac { \left\| r _ { k } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } { \left\| A r _ { k } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \end{aligned}


Wieso wird aus dem Skalarprodukt mit A eine 2-Norm?

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Beste Antwort

Hallo Loewe, zunächst eine Frage:  Ist dir klar, dass
$$ (a,a)={ \left\| a \right\|  }_{ 2 }^{ 2 } $$
ist?

Avatar von 3,9 k

Oh wow, jetzt sehe ich den Umformungsschritt selbst. :D

Dabei war mir das eigentlich klar. Trotzdem vielen Dank!

Dann hätte ich aber noch eine andere Frage...

Wieso ist μ eine Zahl, wenn ich doch dort die Matrix A stehen habe, allerdings in keinem Skalarprodukt oder einer Norm?

Hallo Loewe, mü ist lambda min, also der kleinste Eigenwert der Matrix A plus A transponiert.  Ein Eigenwert ist eine reelle oder komplexe Zahl.

Da A plus A transponiert eine symmetrische Matrix ist, sind die Eigenwerte reell, soweit ich weiß. 

Axhso, das ist gemeint als Lambda min VON A+At... Oh wow... Danke :D

Bitte, und jederzeit gerne wieder.  :-)  

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